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RegularChains[RealTriangularize] - 半代数系の三角分解の計算
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使い方
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RealTriangularize(F, N, P, H, R)
RealTriangularize(F, N, P, H, R, 'isolation'='Discoverer')
RealTriangularize(F, N, P, H, R, 'isolation'='VincentCollinsAkritas')
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パラメータ
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F
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R の多項式のリスト
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N
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R の多項式のリスト
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P
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R の多項式のリスト
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H
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R の多項式のリスト
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R
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多項式環
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'isolation'='Discoverer'
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(オプション)ブールフラグ
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'isolation'='VincentCollinsAkritas'
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(オプション)ブールフラグ
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モデルの説明
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RealTriangularize(F, N, P, H, R) コマンドは半代数多項式系の三角分解を計算します。
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未知数が R の変数であり、多項方程式、非負多項不等式、(狭義の)正多項不等式、および、多項不等式が、それぞれ F, N, P および H で与えられる、パラメータ半代数系  を検討します。 の解は実数の代数的数であり、F, N, P および H で与えられる方程式、不等式(inequalities)、および不等式(inequations)を同時に満たします。
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現時点での実装は  が有限に多数の複素解を持つケースに限定されます。さらに、環 R はパラメータを持たないものである必要があります。
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実数解を分離するために使用可能な方法が 2 種類あります。
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'isolation'='VincentCollinsAkritas'
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この方法では、一変数多項式の実数解を分離する Vincent-Collins-Akritas アルゴリズムを生成します。この手法は Renaud Rioboo が 1992 年の ISSAC の論文で使用した方法に極めて近いものです(下記のリファレンスを参照してください)。
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この方法は、B. Xia および L. Yang の『An Algorithm for Isolating the Real Solutions of Semi-algebraic Systems』の論文にあるアルゴリズムを実装します。デフォルトは Discoverer です。
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アプリケーションと例題
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多項式の環を定義します。
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vars := [x, y, z]: R := PolynomialRing(vars):
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方程式の集合を定義します。
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F := [x^3 + y + z -1, x + y^3 + z -1, x + y + z^3 -1];
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![F := [x^3+y+z-1, x+y^3+z-1, x+y+z^3-1]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math281.png)
| (4.1) |
非負多項式の集合を定義します。
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![N := []](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math290.png)
| (4.2) |
正の多項式の集合を定義します。
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![P := []](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math299.png)
| (4.3) |
不等式の集合を定義します。
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![H := [x]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math308.png)
| (4.4) |
 がゼロでない F の解を計算します。
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dec := RealTriangularize(F, N, P, H, R); map(Info, dec, R);
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![[[[x = 1, y = 0, z = 0], [x-1, y, z]], [[x = 1, y = -1, z = [0, 2]], [x-1, y+1, z-1]], [[x = 1, y = 1, z = [-2, 0]], [x-1, y-1, z+1]], [[x = [0, 2], y = [0, 2], z = [0, 2]], [x-z, y-z, z^3+2*z-1]], [[x = -1, y = 1, z = [0, 2]], [x+1, y-1, z-1]]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math327.png)
| (4.5) |
 が 1 とは異なる数である F の解を計算します。
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dec := RealTriangularize(F, N, P, [x-1], R); map(Info, dec, R);
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![[[[x = [0, 2], y = [0, 2], z = [0, 2]], [x-z, y-z, z^3+2*z-1]], [[x = -1, y = 1, z = [0, 2]], [x+1, y-1, z-1]], [[x = 0, y = 0, z = [0, 2]], [x, y, z-1]], [[x = 0, y = 1, z = 0], [x, y-1, z]]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math348.png)
| (4.6) |
 が負の値である F の解を計算します。
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dec := RealTriangularize(F, N, [-x], [], R); map(Info, dec, R);
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![[[[x = -1, y = 1, z = [0, 2]], [x+1, y-1, z-1]]]](/support/helpjp/helpview.aspx?si=1660/file00660/math366.png)
| (4.7) |
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リファレンス
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R. Rioboo "Computation of the real closure of an ordered field." ISSAC'92, Academic Press, San Francisco.
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L. Yang, K. Hou, B. Xia "A complete algorithm for automated discovering of a class of inequality-type theorems." Sci. China Ser. F, Vol. 44: 33-49, 2001.
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B. Xia, L. Yang "An Algorithm for Isolating the Real Solutions of 半代数系s." J. Symb. Comp., Vol. 34, Num. 5: 461-477, 2002.
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