変数を  という順序で指定した多項環  を定義します。有理数の体  がデフォルトの係数環です。

この多項環の内部表現は次のようにアクセスできます。

次の多項式について考えます。

 の多項式として主変数の  が次のように与えられます：

 の初期 (または 主係数) は次のようになります：

主変数における次数   は次のように表されます：

 の階数は、主次数  にレイズされる変数  で、次のように表されます：

 の末尾は次のようになります。

 の分離で、自身の主変数に対する  の導関数です：

順序を  に変更します：

 という順序の多項環  について考えます。

多項環を定義します。

 の多項式の集合を定義します。

理想的には、sys の解を点のリストに分解します。これがコマンド Triangularize が記号的表現によって行う計算内容です。出力の分解では、同じ特性を持つ一部の点がグループ化されます。このようなグループを レギュラーチェイン と呼びます。

レギュラーチェインは方程式と不等式の系で、特殊な代数的特性を持ちます。その一つは、方程式部が、対になっている異なる主変数を持つ非定数の多項式で構成されていることです。このため、方程式部は三角形の形状になっています。二番目は、不等式部が、方程式を定義する多項式の頭文字で構成されていて、さらには、これらの頭文字の積が、方程式部の飽和イデアルである、通常の (つまり零因子でない) モジュロであるということです。専門知識を持たない読者はこの技術的な条件については読み飛ばしてかまいません。実際、ほとんどの不等式の例では、この不等式条件は自明であり、無視しても同じだからです。次の例で示すようなすべての頭文字が 1 に等しい場合も自明な不等関係になります。

この結果は、次のように解釈されます：系  は 4 つのレギュラーチェインを一つにした集合と等価です。このようなレギュラーチェインの最初の方程式は、 となり 2 番目のレギュラーチェインの方程式は  になる、という具合です。4 種類のレギュラーチェインのいずれにも不等式は存在しません。最初から 3 番目までのレギュラーチェインは厳密に  1 種類の解しか存在せず、最後のチェインには 2 種類の解があります。

 の形式の不等式を指定することもできます。たとえば、消失することがない   を指定することができます。

これまでに説明した各種の例では、多項式系は多数の有限の解を持ちます。ここでは Triangularize コマンドが無限に多数の解を持つ系をどのように処理するかを理解するために、次のような未知数  とパラメータ  を持つパラメトリック線形系について考えます。

デフォルトでは、Triangularize コマンドは入力系の 一般解 を数値計算します。次のようなパラメータを使用した線形系では、このことが系の決定因子が零以外であると想定できることを暗示しています。

したがって、結果のレギュラーチェインは 2 つの方程式、 と 2 つの不等式  で構成され、最初の式は  をピボットとして選択したことを表します。

このような系を解くことができるこれ以外の Maple コマンドでも同様の演算が可能です。

Triangularize コマンドにオプション output=lazard  を指定すると、さらに別の演算ができます。このような場合は、入力に対するすべての解が一般解かどうかにかかわらず計算されます。このような場合は、決定因子が零になることも想定され、解が求められます。下記のそれぞれのレギュラーチェインに対し、その方程式と不等式が出力されます。

または、係数の体に一部のパラメータを「送り出す」する方法も考えられるかもしれません。つまり、有理関数の体に対する解を求めるためです。有理関数の体  で、 および  についての新しい多項環を考えます。

最後に、 で解を求めます。これはつまり、有理関数の体で  および  について 3 を法とする解を求めるということです。

Triangularize コマンドの主要なサブルーチンは RegularGcd コマンドで、これによってレギュラーチェインを法とする多項式の gcd を計算します。このルーチンについては ChainTools サブモジュールのレギュラーチェインの基本コマンドと合わせて後述します。

ここに空のレギュラーチェインとその内部表現があります。

(適切な) 多項式  既存のレギュラーチェイン  に追加すると、新たにレギュラーチェインを構築できます。この操作により、レギュラーチェインのリストが返されることがあります。実際、 の頭文字を  ( の飽和イデアル) に対して定期的に検証すると  が分割される可能性があります。

次の例では、この状況は発生しません。レギュラーチェインの  は空です。

新しいレギュラーチェイン  の内部表現は下記のようになります。レギュラーチェイン内の各多項式では、データ構造体に自身の主変数、主次数、頭文字が含まれています。これらの数値や量は頻繁に必要になるため、そのたびに計算するのを避ける目的でキャッシュに格納します。

内部表現はレギュラーチェインに関する特性、isPrime も表示します。これは、レギュラーチェインの飽和イデアルが素数イデアルであることを意味します。このような特性を理解しておくと計算時間を短縮できます。

次に、 を法とする 2 つの多項式 と の最も一般的な約数を計算します。例では、 を gcd とします。

一般に、レギュラーチェインを法として gcd を計算した出力は「事例」のリストになります。

上記の例では、 が体を定義するため分割される事例はありません。ただし、下記の出力のように、予想したとおりにならない場合もあります。

しかし、外部因数  は  を法とする群です。このため、予想と計算後の gcd は実際には関連するため、結果は正しくなります。

gcd の計算中に分割が必要となる例について考えます。このように例を作成するには、入力の方程式が因数分解しないことを確実にする必要があります。なぜなら、そうでないと Construct コマンドによって系が分割されるためです。下記の例では 3 つの変数があります。そのうちの 2 つ  と  を使用して多項式  と  を持つレギュラーチェインを作成します。

最初の多項式は < に対して既約です。

したがって、ここからレギュラーチェインを作成した場合、出力は 1 つだけになります。後に備えてコピーを作成しておきます。

Construct コマンドにより  (の飽和イデアル) が素数イデアルであることが検出されます。

2 番目の多項式は  に関して既約ではありません。Construct コマンドでこの事実は容易に検知され、 を伴うレギュラーチェインを作成するときにこれを分割します。

 を法とする  を約分することにより、約分された多項式は、 に関して既約となります。

 を  だけ拡張します。

Construct コマンドはこの安価な基準を使用して関連の飽和イデアルが素数かどうかを検知します。ここでは、これらの基準は失敗します。そのため、作成されたレギュラーチェインの  には特定の特性を持ちません。

下記に定義した、を法とする  および  の gcd を計算します。

例では分割が必要な構成になっています。第 1 因子の  を法とし、つまり、 とすると、gcd は  です。一方、第 2 因子  を法とするとこれが構築されます。これに付随して、次のように 2 つの分岐が存在します。

最初の事例を検証します。

 は正規化されていないことに注意してください。SparsePseudoRemainder の計算でこれが「 を法とする」分岐に対応していることを示しています。

単位  を法とする乗法因子  までは、これが求められる結果となります。

2 番目の事例を検証します。ここでも、レギュラーチェイン  は正規化されていません。また、SparsePseudoRemainder 計算で、これが「 を法とする」分岐に対応していることを示しています。

 が  を法とする単位であることを検証します。最初に、 を法としてこれを約分します。次に、結果が  を法として可逆であるかを見ます。解答は可逆的であることを示しています。

同じ平方を持ち、 が の第4 根である、 と  という 2 種類の代数的エンティティがあるとします。ここで  と  について代数的計算を行う必要があると仮定します。

たとえば、次の行列の逆を計算します。

ここで明らかなのは、 と  が等しいかどうかによって結果が異なるということです。先の前提によれば  と  のいずれも約分できません。 の場合、行列  には逆行列があります。両者が等しい場合、行列  は 1 つだけです。このような事実が MatrixInverse によって自動的に検出されます。

最初の結果を検証します。レギュラーチェインを法とする 2 行列を乗算するためにコマンド MatrixMultiply を使用していることに注意してください。

計算結果 (およびレギュラーチェイン) が 2 つに分割されたことが分かります。最初の結果が  に対応し、この分岐では行列は可逆です。2 番目の結果は  に対応し、この分岐では行列は不可逆です。

下記の行列  について考えます。レギュラーチェイン  を法とする逆を計算します。ここでも計算結果は分割されます。ただし、 はいずれの場合も不可逆です。

この結果についてもう一度検討します。

レギュラーチェイン  および  で与えられる行列  は両方の分岐において不可逆であるため、両方の場合に適用できる「一般的な」解があるかどうかという疑問が生じるのは自然なことです。その答えは  です。専門的には「中国の剰余定理」をこれに当てはめて考えることができます。 および  の (飽和) イデアルは相対的に素数です。コマンド MatrixCombine を使用してこれを再結合します。

上記の行列に  倍することで、 を法とする単位行列が得られることを検証します。

コマンド MatrixCombine を使用した場合に複数の事例が出力に存在できるのでしょうか。要するに、このコマンドで複数の事例を 1 つに再結合する場合、中国の剰余定理を用いてもなお失敗することはあり得るのでしょうか。失敗する場合はあります。代数的な理由については後に説明します。手はじめとして、前述した多項式系を例に考えてみます。

次に、多項式エントリで  のランダム行列を生成します。

  についてレギュラーチェインで与えられた 4 種類の事例の再結合を試みます。その後で MatrixCombine で次の 2 種類の事例が生成されることを確認してください。

ここで、これらの 2 種類の事例を統合できない理由について調べます。

 および   によって生成された 2 つのイデアルは、相対的に素数であることは明らかです ( の共通根はありません)。したがって、中国の剰余定理が適用できます。しかし、 および  を 1 つの系に再結合しようとすると、首位係数としての零因子で多項式   が下記のように作成されます。これはレギュラーチェインの特性上、禁止されています。

最初に、変数  が一変量の  および  の多項式で新たに 2 種類のレギュラーチェインを作成します。

次に、2 つの  行列  を定義し、 および  に関してこれらを結合します。

再結合は成功しました。ただし、結果の多項式の頭文字  ( に関して) は零因子です。 を法とするとゼロになり、 を法とすると可逆です。このため、コマンド Inverse を使用した可逆性の計算によって、結合したレギュラーチェイン  は分割されます。

可構集合は、高校で取り扱う数多くの初等問題でも頻繁に見られます。単純な設問例として次のようなものがあります。「  のときの x のどの値が   についての以下の解をもつか」

正解は の条件を満たすすべての場合です。形式上ここで必要な解は、双曲線   の x-軸に対する射影です。このオブジェクトは、多項式の系の非零集合であるため、グレブナ基底計算のような伝統的な手法では計算できません。ここではより精密でより幾何学的な除去プロセスが必要になります。このようなプロセスには、三角形分解を通じた関数 Projection を導入します。これにより、constructible_set 型のオブジェクトが出力されます。この内部表現は レギュラー系と呼ばれるリストによって与えられます。

各レギュラー系はレギュラーチェインと 1 つ以上の不等式で構成されている対の形になっています：

この例では、レギュラーチェイン  は空で方程式は  だけが成り立ちます。例からの出力は、提示された問題そのものよりはやや複雑に見えます。では、今度は同様に馴染みはあるものの若干難しい問題について考えてみましょう。「 の方程式で、a, b, c のいずれの値が解を持つか」これはもう一つの「射影」問題として捉えることができます。

ここでは、次のような 3 つのレギュラー系が得られます：
    (1) ,
    (2) ,
    (3) .

次の図は、多項式写像  を表しています。この写像の像を  で記述するのが次のタスクです。図からわかるように、 の条件を持つ座標  の点は、 の像内には存在できず、一方で、 が成り立つ他の任意の点は存在できます。このため、 の像は可構集合であり、多項式系の零集合ではありません。下記のコマンド PolynomialMapImage によって の像を計算します。

ソースの空間  とターゲットの空間  の座標を指定してから多項式写像を定義し、その像を計算します。

2 つのレギュラー系のリストによって可構集合  が与えられます。一つ目は 、もう一つは  によって与えられます。

有理写像による可構集合の像 (および事前像) も、サブモジュール  ConstructibleSetTools でサポートされています。この機能を説明するために、有理関数を使用するパラメータを使用した表現で与えられる曲線の陰方程式 (つまり接触点曲線) について考えます。この曲線に対するパラメータ指定は、1 次元のソース空間を 、2 次元のターゲット空間を 、任意点の像  を次のように定義した有理写像として見ることができます。

接触点曲線のパラメトリックプロットは次のようになります。

パラメータを使用した曲線の陽表現はこれをプロットする際に非常に有用です。ただし「ターゲット空間の指定の点が曲線上にあるか」といった問題の解を得るためには、陰表現の方がより有用です。
有理写像  を実施して得られる完全 1 次元空間の像は下記のように計算できます。

計算結果には 3 つの構成要素があります。2 番目と 3 番目は、接触点曲線の自己集合積で、いずれも一意であることを示します。最初の構成要素  が他のすべての点を定義します。この不等式の役割は、2 つの自己集合積点を除去することであり、これにより、この 3 つの構成要素で表される集合は互いに素の関係にあります。

下記の計算では、最初の構成要素  の方程式集合が全体の接触点曲線に対応していることを示しています。ある可構集合が別の集合に含まれるかどうかを判別するコマンド IsContained を使用していることに注意してください。

したがって、が接触点曲線の陰表現になります。

以下のそれぞれの多項式では、複素平面上の楕円曲線を定義します。いずれもパラメータ  および  に応じて結果は異なります。不変理論における従来の問題は、第 1 曲線から第 2 曲線までの線形分数写像が存在するかどうかということです。

下記の曲線は、 および  の場合にプロットされる 2 本の曲線です。

第 2 曲線の座標  および  に、一般的な線形分数写像が適用されます。

次に求められるのは、有理関数  は一意に零であるということです。これによって方程式系  が生成されます。ここで一般性が失われることはないため、原点は原点に写像されると想定でき、暗示的に   が成り立ちます。

方程式系  には、不等式制限を追加する必要があります。実際には、未知数 , および  は同時に消失できません。したがって、求解が必要な系は  の零で構成されますが、これらの 3 種類の多項式と共通の零ではありません。この新しい系は、2 種類の可構集合間における集合理論上の相違として容易に表現することができます。

これで、パラメータ  および  のどちらの値が可構集合の空でない値であるか、という問題を代数用語で記述できるようになります。未知の要素を解くための公式も必要です。コマンド ComprehensiveTriangularize がこの 2 要件に対処します。第 2 の引数である (下記の  ) によって、多項環における不定要素の最後の 2 つ  (つまり  および ) が系のパラメータに指定されます。

このコマンドによって返される 2 番目のリストは、パラメータ空間に対する  の射影のうちの有限分割です。この分割の各構成要素  は、 の幾何的特性 (次数、次元など) が事実上は不変の可構集合で、対応する  の構成要素は、添字が  に対応する のレギュラー系によって与えられます。以下に、この分割の 3 つの部分を 1 つの可構集合に連結する手順を示します。

次に、問題の解が不変理論において十分に既知であるかどうかを検証します。ここでは、2 種類の曲線が  という条件で一致するかどうかを見ます。

最後に、3 種類のレギュラー系が下記のように表示されます (ComprehensiveTriangularize で返される最初のリストから順に)。

この短い例では、パラメータ   に応じて変化する、次数が 4 の一般多項方程式に関して、異なる根の数を調べる方法について示します。

コマンド ComplexRootClassification はこの目的に最も適しています。このコマンドは、パラメータを使用する系 (おそらくパラメータ形式の可構集合) が持つ異なる複素数解の数をパラメータに応じて計算します。下記の例では、第 2 引数の  は、多項環の最後の 4 種類の変数  が方程式のパラメータであることを示しています。

この結果、パラメータ空間が 5 つの集合に分割されます。これらの集合は、その  のパラメータ値のそれぞれが厳密に , または  の複素数根となる集合であったり、 のパラメータ値が無限に多数の根を持つ集合 (これは  の場合にのみ発生) であったりします。

3 つの異なる根の事例について求解するとします。多項式  が 3 種類の異なる根を持つための必要十分な条件を与え、可構集合を定義するレギュラー系の方程式と不等式を表示します。

この出力は、以下のように解釈される必要があります。以下の 3 つの場合があります：

ここでもう一度思い出してみましょう。半代数的系 (SAS) とは、それぞれ 、、、および  で表される、多項式、多項不等式集合 (非厳密/厳密)、多項不等式を含む系です。たとえば  という系は、次のように表されます。

RealRootCounting コマンドは、与えられた半代数的系について、異なる実数解がいくつあるかを計算します。

次の自明でない問題について考えます。

入力系が無限に多数の複素数解を持つ (つまり、正の次元に複素数の解がある) 場合は、RealRootCounting は、代わりに RealRootClassification を呼び出すよう提案する以下のようなメッセージを返します。

コマンド RealRootClassification は、部分柱形代数分解 (Partial Cylindrical Algebraic Decomposition、PCAD) を行います。使い方は  PartialCylindricalAlgebraicDecomposition(, , ) で、この  は多項環、 は  内の多項式、 は  内の多項式のリストで正値性の条件を表しています。この関数の出力は、サンプル点のリスト  です。それぞれのサンプル点は、 内の変数の数に応じた有理数のリストで表現されます。内部リストは、方程式  で分解される (実) 空間の (実) 開放接続構成要素のサンプル点の座標を示します。また、すべての多項式  を満たさないサンプル点  は破棄されます。

次に、さらに高度な例として多項式系  のサンプル点を計算します。この場合は、 の各多項式を正とする制約を追加します。

結果を検証します。