convert/2F1 converts, when possible, hypergeometric / MeijerG functions into special functions admitting a 2F1 hypergeometric representation; that is, into one of

FunctionAdvisor( `2F1` );

The 26 functions in the "2F1" class are particular cases of the hypergeometric function and are given by:

$\left[\mathrm{ChebyshevT}\,\mathrm{ChebyshevU}\,\mathrm{EllipticCE}\,\mathrm{EllipticCK}\,\mathrm{EllipticE}\,\mathrm{EllipticK}\,\mathrm{GaussAGM}\,\mathrm{GegenbauerC}\,\mathrm{JacobiP}\,\mathrm{LegendreP}\,\mathrm{LegendreQ}\,\mathrm{LerchPhi}\,\mathrm{SphericalY}\,\arccos \,\mathrm{arccosh}\,\mathrm{arccot}\,\mathrm{arccoth}\,\mathrm{arccsc}\,\mathrm{arccsch}\,\mathrm{arcsec}\,\mathrm{arcsech}\,\arcsin \,\mathrm{arcsinh}\,\arctan \,\mathrm{arctanh}\,\ln \right]$

convert/2F1 accepts as optional arguments all those described in convert/to_special_function.

$z\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{1}{2}\,1\right]\,\left[\frac{3}{2}\right]\,z^2\right)$

$z\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{1}{2}\,1\right]\,\left[\frac{3}{2}\right]\,z^2\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$\mathrm{arctanh}\left(z\right)$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[-\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\right]\,\left[1\right]\,z^2\right)$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[-\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\right]\,\left[1\right]\,z^2\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$\mathrm{JacobiP}\left(\frac{1}{2}\,0\,\mathrm{-1}\,-2z^2+1\right)$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}\,1+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\right]\,\left[a+\frac{3}{2}\right]\,\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[1+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\,\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\right]\,\left[a+\frac{3}{2}\right]\,\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(a+\frac{3}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right)\mathrm{JacobiP}\left(-\frac{a}{2}-1-\frac{b}{2}\,a+\frac{1}{2}\,b\,\frac{z^2-2}{z^2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}-\frac{b}{2}\right)}$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[b+c+a+1\,-a\right]\,\left[1+b\right]\,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}z\right)$

$\mathrm{hypergeom}\left(\left[-a\,b+c+a+1\right]\,\left[1+b\right]\,\frac{1}{2}-\frac{z}{2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(1+b\right)\mathrm{\Gamma }\left(a+1\right)\mathrm{JacobiP}\left(a\,b\,c\,z\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(a+b+1\right)}$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[0\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-\frac{1}{2}\right]\right]\,-\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[0\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-\frac{1}{2}\right]\right]\,-\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$2z\mathrm{arctanh}\left(\frac{1}{z}\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[0\right]\right]\,-1+z^2\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[0\right]\right]\,z^2-1\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$\mathrm{\pi }\mathrm{GegenbauerC}\left(-\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\,2z^2-1\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b\,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-\frac{1}{2}-a\right]\right]\,-\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\,\frac{1}{2}-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-a-\frac{1}{2}\right]\right]\,-\frac{1}{z^2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$-\frac{\mathrm{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(1+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)\mathrm{JacobiP}\left(-\frac{1}{2}-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\,a+\frac{1}{2}\,b\,\frac{z^2-2}{z^2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a}{2}+1-\frac{b}{2}\right)\sin \left(-\frac{\left(a+b+1\right)\mathrm{\pi }}{2}\right)}$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[-a\,a+1\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[b\right]\right]\,-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}z\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[-a\,a+1\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[b\right]\right]\,-\frac{1}{2}+\frac{z}{2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{`2F1`}\right)$

$-\frac{\mathrm{\pi }\csc \left(\mathrm{\pi }a\right){\left(z-1\right)}^{\frac{b}{2}}\mathrm{LegendreP}\left(a\,b\,z\right)}{{\left(1+z\right)}^{\frac{b}{2}}}$