Let $\mathrm{rho}\: \mathrm{\𝔤}\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathrm{gl}\left(V\right)$be a representation of a solvable Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$ on a vector space $V$. A corollary of Lie's fundamental theorem for solvable Lie algebras (see RepresentationEigenvector) implies that there always exists a basis (possibly complex) for$V$ such that the matrix representation of $\mathrm{\ρ}\left(x\right)$is upper triangular for all $x \in \mathrm{\𝔤}$.

The program SolvableRepresentation(rho) uses the program RepresentationEigenvector to construction such a basis. In the case when the RepresentationEigenvector program returns a complex eigenvector (with associated complex eigenvalue $a \+ \mathrm{bI}$), the matrix representation will not be upper triangular but will contain the matrix $\left[\begin{array}{rr}a& b\\ -b& a\end{array}\right]$ on the diagonal (similar to the real Jordan form of a matrix).

For the second calling sequence, the program SolvableRepresentation is applied to the adjoint representation of the algebra Alg.

The output is a 4-element sequence. The 1st element is a new basis $\mathrm{\ℬ}$ for$V$ in which the representation is upper triangular, the 2nd element is the change of basis matrix, the 3rd element is the representation in the new basis. The 4th element $P$ gives the partition defining the size of the diagonal block matrices. If $P \= \left[1.. n_1\, n_1\+1 .. n_2\, n_2\+1 .. n_3\, ..\. \right]$, then the subspaces  $\mathrm{\ℬ}\left[1\, ..\.\, n_1\right]\,$$\mathrm{\ℬ}\left[1\, ..\.\, n_2\right]\, \mathrm{\ℬ}\left[1\, ..\.\, n_3\right]$ are $\mathrm{\ρ}-$invariant subspaces. If, for example, $P \= \left[1.. 1\, 2.. 2 \, 3.. 3\right]\,$ then all the eigenvectors calculated by RepresentationEigenvector are real. If C = $\left[1..1\, 2..3\right]$then the vectors $\mathrm{\ℬ}\left[\mathit{2}\right]$and $ℬ$$\left[3\right]$ are the real and imaginary parts of a complex eigenvector. The precise form of the output can be specified by the user with the keyword argument output = O, where O is a list with members "NewBasis", ChangeOfBasisMatrix", "TransformedMatrices", "Partition".

With the option fieldextension = I, a complex basis will be returned (if needed) which puts the representation into upper triangular form.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$

$L≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{alg1}\,\left[3\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\right]\,\mathrm{V1}\right)\:$

$M≔\mathrm{map}\left(\mathrm{Matrix}\,\left[\left[\left[8\,8\,0\,0\,0\right]\,\left[-1\,5\,6\,0\,0\right]\,\left[0\,-2\,2\,4\,0\right]\,\left[0\,0\,-3\,-1\,2\right]\,\left[0\,0\,0\,-4\,-4\right]\right]\,\left[\left[8\,16\,0\,0\,0\right]\,\left[-1\,4\,12\,0\,0\right]\,\left[0\,-2\,0\,8\,0\right]\,\left[0\,0\,-3\,-4\,4\right]\,\left[0\,0\,0\,-4\,-8\right]\right]\,\left[\left[-4\,-8\,0\,0\,0\right]\,\left[1\,-1\,-6\,0\,0\right]\,\left[0\,2\,2\,-4\,0\right]\,\left[0\,0\,3\,5\,-2\right]\,\left[0\,0\,0\,4\,8\right]\right]\right]\right)\:$

$\mathrm{\ρ1}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{alg1}\,\mathrm{V1}\,M\right)$

$\mathrm{B1},\mathrm{P1},\mathrm{newrho},\mathrm{Part1}≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{\ρ1}\right)$

$\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\ρ1}\,\mathrm{B1}\,\mathrm{V1}\right)$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg2}\,\left[3\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,3\,2\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,3\,1\right]\,3\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,2\right]\,3\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e2}\+3\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\+3\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\,\mathrm{x5}\,\mathrm{x6}\right]\,\mathrm{V2}\right)\:$

$M≔\mathrm{map}\left(\mathrm{Matrix}\,\left[\left[\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[-3\,1\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,-3\,0\,1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-2\cdot 3\,0\,2\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[-1\,-3\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,-1\,0\,-3\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-2\,0\,-2\cdot 3\,0\right]\right]\,\left[\left[2\cdot 3\,-2\,0\,0\,0\,0\right]\,\left[1\,2\cdot 3\,0\,-1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,3\,0\,-1\,0\right]\,\left[0\,2\,0\,2\cdot 3\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\,0\,3\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\right]\right]\right]\right)\:$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg2}\,\mathrm{V2}\,M\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\ρ2}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{B2},\mathrm{P2},\mathrm{newrho},\mathrm{Part2}≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{\ρ2}\right)$

$\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{B2}\,\mathrm{V2}\right)$

$\mathrm{B3}≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{fieldextension}=\mathrm{I}\,\mathrm{output}=\left[''NewBasis''\right]\right)$

$\mathrm{B3}:=\left[\mathrm{D\_x6}\,\mathrm{D\_x3}-\mathrm{I}\mathrm{D\_x5}\,\mathrm{D\_x3}\+\mathrm{I}\mathrm{D\_x5}\,\mathrm{D\_x1}-\mathrm{I}\mathrm{D\_x2}-\mathrm{D\_x4}\,\mathrm{D\_x1}\+\mathrm{D\_x4}\,\mathrm{D\_x1}\+\mathrm{I}\mathrm{D\_x2}-\mathrm{D\_x4}\right]$

$\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\ρ2}\,\mathrm{B3}\,\mathrm{V2}\right)$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg3}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,1\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,2\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,3\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,3\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,4\,1\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,4\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,3\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,5\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,5\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,5\,1\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,5\,2\right]\,-1\right]\,\left[\left[4\,5\,3\right]\,-1\right]\,\left[\left[4\,5\,5\right]\,-2\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}-\mathrm{e3}-2\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L3}\right)\:$

$\mathrm{Adjoint}\left(\right)$

$B≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{Alg3}\,\mathrm{output}=\left[''NewBasis''\right]\right)$

$B:=\left[\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\+\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}-\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{L4}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(B\,\mathrm{Alg4}\right)$

$\mathrm{L4}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L4}\right)\:$

$\mathrm{Adjoint}\left(\right)$

$L≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg5}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,1\right]\,5\right]\,\left[\left[1\,2\,2\right]\,-5\right]\,\left[\left[1\,2\,3\right]\,-3\right]\,\left[\left[1\,2\,5\right]\,-2\right]\,\left[\left[1\,3\,1\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,3\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,3\,3\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,3\,5\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,4\,1\right]\,4\right]\,\left[\left[1\,4\,2\right]\,-3\right]\,\left[\left[1\,4\,3\right]\,-3\right]\,\left[\left[1\,4\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,4\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,5\,1\right]\,-4\right]\,\left[\left[1\,5\,2\right]\,5\right]\,\left[\left[1\,5\,3\right]\,3\right]\,\left[\left[1\,5\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,-2\right]\,\left[\left[2\,3\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,3\,5\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,5\,1\right]\,-4\right]\,\left[\left[2\,5\,2\right]\,4\right]\,\left[\left[2\,5\,3\right]\,3\right]\,\left[\left[2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,2\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,4\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,5\,1\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,5\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[3\,5\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[4\,5\,1\right]\,-3\right]\,\left[\left[4\,5\,2\right]\,3\right]\,\left[\left[4\,5\,3\right]\,3\right]\right]\right]\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=5\mathrm{e1}-5\mathrm{e2}-3\mathrm{e3}-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\+2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=4\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}-3\mathrm{e3}-\mathrm{e4}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-4\mathrm{e1}\+5\mathrm{e2}\+3\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-2\mathrm{e1}\+2\mathrm{e2}\+2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-4\mathrm{e1}\+4\mathrm{e2}\+3\mathrm{e3}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\+2\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-3\mathrm{e1}\+3\mathrm{e2}\+3\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{B1},\mathrm{C1}≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{Alg5}\,\mathrm{output}=\left[''NewBasis''\,''Partition''\right]\right)$

$\mathrm{B1}\,\mathrm{C1}:=\left[\mathrm{e1}-\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}-\mathrm{e4}-\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}-\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\,\left[1..1\,2..3\,4..5\right]$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{B1}\,\mathrm{Alg6}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=4\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=3\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\+2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=3\mathrm{e1}\+2\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{L2}\right)$

$\mathrm{B3}≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{Alg5}\,\mathrm{fieldextension}=\mathrm{I}\,\mathrm{output}=\left[''NewBasis''\right]\right)$

$\mathrm{B3}:=\left[\mathrm{e1}-\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}-\left(1+\mathrm{I}\right)\mathrm{e2}\+\mathrm{I}\mathrm{e4}-\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}-\left(1-\mathrm{I}\right)\mathrm{e2}-\mathrm{I}\mathrm{e4}-\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{B3}\,\mathrm{Alg7}\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=4\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=3\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\left(1\+\mathrm{I}\right)\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\left(1-\mathrm{I}\right)\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=3\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{L3}\right)$

$\mathrm{L5}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg5}\,\left[6\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,2\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,3\,3\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,4\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,4\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,4\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,5\,3\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,5\,5\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,5\,6\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[1\,6\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,6\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,3\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[2\,3\,5\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\right]\,-\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,6\,3\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,5\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,6\right]\,\frac{1}{2}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,6\,5\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{L5}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e3}\+\frac{1}{2}\mathrm{e5}-\frac{1}{2}\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\+\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}-\frac{1}{2}\mathrm{e5}\+\frac{1}{2}\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e3}-\mathrm{e5}\+\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e3}-\frac{1}{2}\mathrm{e5}-\frac{1}{2}\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\+\frac{1}{2}\mathrm{e5}\+\frac{1}{2}\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L5}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,\mathrm{V5}\right)\:$

$\mathrm{M5}≔\mathrm{map}\left(\mathrm{Matrix}\,\left[\left[\left[-5\,-9\,10\,-4\right]\,\left[-4\,-7\,8\,-3\right]\,\left[-5\,-9\,10\,-4\right]\,\left[3\,5\,-6\,2\right]\right]\,\left[\left[-8\,-12\,14\,-6\right]\,\left[-5\,-8\,9\,-4\right]\,\left[-9\,-14\,16\,-7\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[-1\,-2\,2\,-1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[1\,2\,-2\,1\right]\right]\,\left[\left[-5\,-8\,9\,-4\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[-5\,-8\,9\,-4\right]\,\left[-5\,-8\,9\,-4\right]\right]\,\left[\left[-1\,-2\,2\,-1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[-1\,-2\,2\,-1\right]\,\left[-1\,-2\,2\,-1\right]\right]\,\left[\left[-2\,-4\,4\,-2\right]\,\left[-2\,-4\,4\,-2\right]\,\left[-3\,-6\,6\,-3\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\right]\right)\:$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg5}\,\mathrm{V5}\,\mathrm{M5}\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{Alg5}\,''Nilpotent''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\rho }\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\rho }\,''NilRepresentation''\right)$

$\mathrm{true}$

$B≔\mathrm{SolvableRepresentation}\left(\mathrm{Alg5}\,\mathrm{output}=\left[''NewBasis''\right]\right)$

$B:=\left[\mathrm{e2}-\mathrm{e6}\,\mathrm{e3}\+\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{L5a}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(B\,\mathrm{Alg5a}\right)$

$\mathrm{L5a}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e3}-2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\+\frac{1}{2}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e2}\+\frac{1}{2}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e2}\+\frac{1}{2}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{Adjoint}\left(\mathrm{L5a}\right)$