Let $\mathrm{\ρ}\: \mathrm{\𝔤} \to \mathrm{gl}\left(V\right)$ be a representation of a Lie algebra $\mathrm{\𝔤}$ on a vector space $V$. Let $\left\{e_1\, e_2\, ..\. \,e_n\right\}$be the given basis for $\mathrm{\𝔤}$ and let $\left\{E_1\, E_2\, ..\. \,E_m\right\}$be the given basis for $V$. Let $\mathrm{\ρ}\left(e_i\right) \= M_{i }$, the matrix representing the linear transformation $\mathrm{\ρ}\left(e_i\right)$with respect to the basis $\left\{E_r\right\}$. If $\left\{F_s\right\}$is another basis for the representation space $V$, then in this new basis $\mathrm{\ρ}\left(e_i\right) \= S_{i }\,$where $S_i\=P^{-1}{M}_i P$and $P$is the change of basis matrix whose columns are the components of $\left\{F_s\right\}$with respect to the basis $\left\{E_r\right\}\.$If $\left\{f_j\right\}$is another basis for $\mathrm{\𝔤}\mathit{\,}\mathit{ }$then $\mathrm{\rho }\left(f_j\right) \= T_{j }\,$where $T_j \= \sum _i^n Q{ }_j^i M_i$and $Q$ is the change of basis matrix whose columns are the components of the $\left\{f_j\right\}$with respect to the $\left\{e_i\right\}$, that is, $f_j \= \sum _i^n Q{ }_j^i e_i$.

If $B$ = $\left[F_s\right]$ is a list of vectors defining a basis for $V$, then ChangeReperesentationBasis($\mathbf{\rho }$ B, Fr) computes the matrices $S_{i }$for the representation $\mathrm{\ρ}$ with respect to the basis $\left[F_s\right]$. If $P$is the change of basis matrix, then the calling sequence ChangeRepresentationBasis($\mathbf{\rho }$, P, "Range", Fr) produces the same result.

If $B \= \left[f_j\right]$is a list of vectors defining a basis for $\mathrm{\𝔤}$, then ChangeRepresentationBasis($\mathbf{\rho }$, B, Fr) computes the matrices $T_{i }$for the representation $\mathrm{\ρ}$ with respect to the basis $\left[f_j\right]$. If Q is the change of basis matrix, then the command ChangeRepresentationBasis($\mathbf{\rho }$, Q, "Domain", Fr) produces the same result.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$L≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x3}\right]=\mathrm{x3}\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x4}\right]=\mathrm{x4}\,\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x4}\right]=\mathrm{x3}\right]\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,\mathrm{Alg1}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$M≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\right)\right]\:$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg1}\,V\,M\right)$

$B≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{D\_x}+\mathrm{D\_y}+\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_x}-\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_x}+2\mathrm{D\_y}+\mathrm{D\_z}\right]\right)$

$B:=\left[\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_y}\+\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_x}-\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_x}\+2\mathrm{D\_y}\+\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{\φ1}≔\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\rho }\,B\,V\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\φ1}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$a≔\mathrm{ApplyRepresentation}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{e1}\,B\left[1\right]\right)$

$a:=\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_y}$

$\mathrm{GetComponents}\left(a\,B\right)$

$\left[-2\,1\,2\right]$

$B$

$\left[\mathrm{D\_x}\+\mathrm{D\_y}\+\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_x}-\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_x}\+2\mathrm{D\_y}\+\mathrm{D\_z}\right]$

$P≔\mathrm{LinearAlgebra}:-\mathrm{Transpose}\left(\mathrm{Matrix}\left(\mathrm{GetComponents}\left(B\,\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]\right)\right)\right)$

$\mathrm{\φ2}≔\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\rho }\,P\,''Range''\,V\right)$

$\mathrm{ChangeFrame}\left(\mathrm{Alg1}\right)$

$\mathrm{Alg1}$

$B≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e1}+\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}-\mathrm{e2}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}-\mathrm{e3}+\mathrm{e4}\right]\right)$

$B:=\left[\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,-\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}-\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(B\,\mathrm{Alg2}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=-\mathrm{e2}-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e2}\+2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e2}\+2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-3\mathrm{e2}-3\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\,\left[f\right]\,\left[\mathrm{\theta }\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg2}$

$\mathrm{\φ3}≔\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\rho }\,B\,\mathrm{Alg2}\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\φ3}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$B$

$\left[\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,-\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}-\mathrm{e3}\+\mathrm{e4}\right]$

$P≔\mathrm{LinearAlgebra}:-\mathrm{Transpose}\left(\mathrm{Matrix}\left(\mathrm{GetComponents}\left(B\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\right)\right)\right)$

$\mathrm{\φ4}≔\mathrm{ChangeRepresentationBasis}\left(\mathrm{\rho }\,P\,''Domain''\,\mathrm{Alg2}\right)$