convert/Cylinder converts, when possible, special functions admitting a 1F1 or 0F1 hypergeometric representation into Cylinder functions. The Cylinder functions are

FunctionAdvisor( Cylinder );

The 3 functions in the "Cylinder" class are:

$\left[\mathrm{CylinderD}\,\mathrm{CylinderU}\,\mathrm{CylinderV}\right]$

$\mathrm{HermiteH}\left(a\,z\right)\mathrm{LaguerreL}\left(\frac{1a}{2}\,-\frac{1}{2}\,\frac{1z^2}{2}\right)$

$\mathrm{HermiteH}\left(a\,z\right)\mathrm{LaguerreL}\left(\frac{a}{2}\,-\frac{1}{2}\,\frac{z^2}{2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Cylinder}\right)$

$\frac{\mathrm{CylinderD}\left(a\,z\sqrt{2}\right){\ⅇ}^{\frac{z^2}{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{a}{2}}\right){\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{2}\right)\mathrm{CylinderD}\left(a\,z\right)}{2\sqrt{\mathrm{\pi }}}+\frac{\mathrm{CylinderD}\left(a\,z\sqrt{2}\right){\ⅇ}^{\frac{z^2}{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{a}{2}}\right){\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{2}\right)\mathrm{CylinderD}\left(a\,-z\right)}{2\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

$\mathrm{erfc}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{erfc}\left(a\,z\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Cylinder}\right)assuminga::\mathrm{posint}$

$\frac{\mathrm{CylinderD}\left(-1-a\,z\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{2}}\sqrt{2^a\mathrm{\pi }}}$

$\frac{2{\mathrm{Pi}}^{\frac{1}{2}}z\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{1a}{2}\+\frac{3}{4}\right]\,\left[\frac{3}{2}\right]\,\frac{1z^2}{2}\right)}{2^{\frac{1a}{2}-\frac{1}{4}}\mathrm{GAMMA}\left(\frac{1a}{2}\+\frac{1}{4}\right)}\+\frac{{\mathrm{Pi}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{1a}{2}\+\frac{1}{4}\right]\,\left[\frac{1}{2}\right]\,\frac{1z^2}{2}\right)}{\mathrm{GAMMA}\left(\frac{1a}{2}\+\frac{3}{4}\right)2^{\frac{1a}{2}-\frac{3}{4}}}$

$\frac{2\sqrt{\mathrm{\pi }}z\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right]\,\left[\frac{3}{2}\right]\,\frac{z^2}{2}\right)}{2^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right)}+\frac{\sqrt{\mathrm{\pi }}\mathrm{hypergeom}\left(\left[\frac{a}{2}+\frac{1}{4}\right]\,\left[\frac{1}{2}\right]\,\frac{z^2}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a}{2}+\frac{3}{4}\right)2^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}}$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Cylinder}\right)$

$\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\left(2^{\frac{a}{2}+\frac{1}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}}-2^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}\right)\mathrm{CylinderD}\left(-a-\frac{1}{2}\,z\right)}{22^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}}+\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\left(2^{\frac{a}{2}+\frac{1}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}}+2^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}\right)\mathrm{CylinderD}\left(-a-\frac{1}{2}\,-z\right)}{22^{\frac{a}{2}-\frac{1}{4}}{2}^{\frac{a}{2}-\frac{3}{4}}}$

$\mathrm{collect}\left(\,\mathrm{CylinderD}\,\mathrm{simplify}\right)$

$2{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\mathrm{CylinderD}\left(-a-\frac{1}{2}\,-z\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\frac{1}{4}-\frac{1a}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-\frac{1}{2}\right]\right]\,-\frac{1z^2}{2}\right)$

$\mathrm{MeijerG}\left(\left[\left[\frac{1}{4}-\frac{a}{2}\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[0\right]\,\left[-\frac{1}{2}\right]\right]\,-\frac{z^2}{2}\right)$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Cylinder}\right)$

$-\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}{2}^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)\mathrm{CylinderD}\left(-a-\frac{1}{2}\,z\right)}{2\sqrt{\mathrm{\pi }}z{2}^{-\frac{1}{2}+a}}+\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\mathrm{CylinderD}\left(-a-\frac{1}{2}\,-z\right)2^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)}{2\sqrt{\mathrm{\pi }}z{2}^{-\frac{1}{2}+a}}$

$\mathrm{convert}\left(\,\mathrm{Cylinder}\,''raise\; a''\right)$

$\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}{2}^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)\mathrm{CylinderD}\left(\frac{1}{2}-a\,z\right)}{\left(2a-1\right)\sqrt{\mathrm{\pi }}{2}^{-\frac{1}{2}+a}}+\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}{2}^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)\mathrm{CylinderD}\left(\frac{1}{2}-a\,-z\right)}{\left(2a-1\right)\sqrt{\mathrm{\pi }}{2}^{-\frac{1}{2}+a}}-\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}{2}^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)\mathrm{CylinderD}\left(\frac{3}{2}-a\,z\right)}{\left(2a-1\right)\sqrt{\mathrm{\pi }}z{2}^{-\frac{1}{2}+a}}+\frac{{\ⅇ}^{\frac{z^2}{4}}\mathrm{CylinderD}\left(\frac{3}{2}-a\,-z\right)2^{\frac{a}{2}+\frac{3}{4}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+a\right)}{\left(2a-1\right)\sqrt{\mathrm{\pi }}z{2}^{-\frac{1}{2}+a}}$