dsolve は一般的な ODE ソルバとしてさまざまな種類の ODE 問題を扱います。以下のような問題です。

- 単独の ODE (後述)、または ODE 系 (dsolve, system.を参照してください) の閉じた形式の解を求める。

- 初期条件が指定されている ODE または ODE 系の問題 (境界値問題) の解を求める。dsolve, ICs を参照してください。

- 多項式係数を持つ線形 ODE に対する形式べき級数の解を求める。dsolve, formal_series を参照してください。

- 多項式係数を持つ線形 ODE に対する式の解を求める。dsolve, formal_solution を参照してください。

- 積分変換 (Laplace 変換、Fourier フーリエ変換) を使用して解を求める。dsolve, integral_transform を参照してください。

- ODE や ODE 系に対する数値解 (dsolve, numeric を参照) または級数解 (dsolve, series を参照) を求める。

単独の ODE では、dsolve は区分法または対称法を使用して求解を試みます。対称法を使用した場合、dsolve はまず、指定の ODE の対称群の生成元を探し、それからこの情報を用いて積分します。あるいは、少なくとも階数を簡約します。区分法は ODE で認識可能なパターンが一致した場合 (つまり、求解法がすでに実装されている場合) で、区分不可能なケースに対して対称法が予約されている場合に使用します。

次のように指定すると、与えられた ODE 問題を解くのに適した方法を表示することができます (infolevel を参照)：

infolevel[dsolve]:= 3;

ODE と ODE 系に対する数値解および記号解を得るために、ODE Analyzer という新しい対話型インターフェイスが作成されました。このインターフェイスにはオプションが数多く用意されていて、使い方も簡単です。解や解の値の計算だけでなくプロットも生成できます。このインターフェイスは教育用ツールとして最適で、解やプロットの計算に必要な Maple コマンドを提示することができます。このインターフェイス (およびコマンドラインオプション) を導入する詳細については、 dsolve/interactive を参照してください。worksheet/interactive/dsolve には、このインターフェイスの図解入り説明が記載されています。

ODE が与えられると、微分する関数がこの ODE に複数含まれている場合に限り、従属変数を示す追加の変数が必要になります。追加の引数が与えられると、最初の引数の後に、任意の順序で配置できます。ODE は、(微分) 演算子を適用する方法によっても構成できます。ページ末尾の例を参照してください。

警告 : ODE の第 1 引数がセットまたはリストの場合、この要素が 1 つであるか、ODE が casesplit コマンドからの出力であっても、この入力は「ODE 系」として扱われるため、その出力は dsolve,system に示す当該ルールに従います。

ここでは  は、独立変数と従属変数の任意の対であることを表します。

明示的な方程式  または暗黙的な方程式  の列として閉じた形式の解が  dsolve から返されます。ここで、 (n=整数) は任意定数です。デフォルトでは、solve で従属変数を分離できない場合を除いて、あるいは、その分離で分数乗の反転が必要になるか、 RootOf ( ) など) を使用した場合にだけ分離を得ることができる場合のみ、dsolve は明示的な形式で答えを返します。dsolve  は、solve で使用される変数  に影響されることに注意してください。

1 階 ODE で dy/dx が高次の場合、解はパラメトリック形式の   で表すこともできます。ここで  はパラメータで、右辺は  の陽的表現です。

高階 ODE の場合、ODE の階数を減らせば dsolve での求解は可能ですが、問題の最終的な解を得ることはできません。その後、階数の簡約を伝達するスキームを使用して解が表示されます (dsolve,ODESolStruc と後述の例を参照してください)。これで  DEtools で利用可能なツールを使用するか、級数 展開を行う、あるいは他の方法を使用して簡約された ODE の解を得ることができます。簡約 ODE の解を得ることができたら、元の問題の解についても、DEtools[buildsol] を使用して求めることができます。

線形 ODE では、dsolve で解を導くことができない、または階数を減らすことができない場合、DESol を使用した解が返されます。DESol 構造は、線形 ODE の階数簡約を伴う解にも見られる構造です。DESol 構造には ODE 自体ほどの情報は含まれていませんが、Maple で操作が可能なため、級数展開や簡約など、より高度な数値計算で使用するのに便利です。DESol を参照してください。

dsolve で返される解に含まれる積分は、inert Int および Intat (int や intat ではありません) を使用して表示されます。これらの積分は、int で計算できないか、求解プロセス中にこれらを評価しない方が好都合とされた場合に現れます。これらの積分の評価は value コマンドを使用して再度要求することができます。

指定の ODE に見られる浮動小数点は、求解前に有理厳密数に変換されます。オプションの引数については、後述する convert_to_exact=false を参照してください。

記号変数  (n=整数) は、内部ルーチンで使用するために予約されていて指定できません。

IC 問題、ODE 系、級数解や数値解での指定、または積分変換で使用するオプションの引数については、前セクションで該当する各ヘルプページを参照してください。

単独 ODE の場合、オプションの引数は第 1 引数後、任意の順序で指定することができます。次に、代表的なオプション引数の使用法について要約を示します。

'implicit'

dsolve で解が陽的表現になるのを防ぐ場合に使用します。

'explicit'

solve で従属変数の分離に成功した場合に、すべての場合で解を陽的にすることを求める場合に使用します。

'parametric'

単独 ODE の最初の階 (おそらく高階の dy/dx の最初の 1 階) を解く場合にパラメトリックな求解スキームのみ使用するよう要求する場合に使用します。ただし、デフォルトでは dsolve は、求解プロセス中に使用されたパラメータを削除しようとします。パラメータを残しておくために、オプションの引数 'implicit' を 'parametric' とともに指定します。

'singsol' = ...

この右辺には none、essential、all のいずれかのキーワードを指定し、それぞれ、なにも計算しない、事実上の特異 (デフォルトの動作)、または すべての特異解を計算する指定です。最後の指定には、積分定数を特殊化しても一般解から得ることができない特異解が含まれます。

'useInt'

求解プロセス中にデフォルトの積分器ではなく、Int (inert 積分) を使用する要求で指定します。このオプションは、多くの場合で求解プロセスの時間短縮に役立ち、積分が終了する前に解を表示することができます (教育上有益です)。後で積分を行うには、dsolve で返された解に value コマンドを適用します。

'useint'

求解プロセス中にデフォルトの積分器ではなく、int を使用する要求で指定します。このオプションを指定すると dsolve は、解に含まれるすべての積分の計算を、その有効性の有無にかかわらず試みます。このオプションは、経験則に従った手順で積分を実施することの利便性を判別しても ODE 求解の簡略化につながらないような場合に有効です。

'class'

区分法 (odeadvisor を参照してください) のみ使用し、対称法を使用しないように要求するときに指定します。

'Lie'

区分法を試みる前に Lie の対称法を使用するよう要求するときに指定します。対称スキームに関する詳細情報や各種の関連オプション引数については、dsolve, Lie を参照してください。

'_mu = int_factor_hint'

int_factor_hint で示した形式の積分係数の検索および使用を要求するときに指定します。このオプションには、未知の要素が含まれた  の形式の関数か、値を決定すべき記号が含まれる代数式または代数リストが使用できます。int_factor_hint に未知の要素が含まれない場合、mutest による直接検証だけが実施され、ヒントは認証されるかまたは破棄されます。ヒントに未知の要素が含まれる場合、dsolve は Maple の intfactor ルーチンを実行して提示された形式の積分係数の計算を続行してから、自身のルーチンでこの情報を指定の ODE の解に適宜、変換します。下記の例題を参照してください。

'[method1, method2, ...]'

指定の ODE の解を得る場合に '[method1, method2, ...]' だけをこの順序で使用する要求をするときに指定します。いずれの方法も、方法のリストにある関連のキーワードで表されます。たとえば、1 階 ODE の場合、利用可能な方法は次のとおりです。

`dsolve/methods`[1];

`dsolve/methods`[1,'semiclass'];

`dsolve/methods`[1,'high_degree'];

異なる階で利用可能なすべての細分と方法を表示するには、indices コマンドと  entries コマンドを使用できます。現在開発中の方法は、今のところ dsolve で直接的には使用できず、この methods ('[method1, method2,...]') オプションのリストによって明示的に指定する方法でのみ試行できます。

'output=basis'

線形 ODE の場合のみ、解空間に展開する関数のリストとして解を要求する場合に指定します。微分方程式が同次でない場合、dsolve から基底関数と続く単独の特殊解が含まれるリストが返されます。

'convert_to_exact'=false

浮動小数点の数値が有理厳密数に変換されないようにする場合に指定します。このオプション引数はほとんどの場合に使用可能ですが、ODE の入力内容によっては関連付けられた方法のために処理が低速化する場合があり、ODE 問題の解が得られなくなることがあります。

求解スキームに関係し、dsolve で使用するその他のオプションパラメータについては、dsolve,setup を参照してください。

あらゆる階の線形および非線形 ODE に対応するために、現在の dsolve の実装では、Kovacic アルゴリズムなどの複数の決定プロシージャと同様、区分法、積分係数法、対称法、等価法 (古典的な不変理論) を組み合わせて活用しています。

実装されているほとんどの区分法に関するヘルプページが用意されています ( odeadvisor を参照してください)。このヘルプページは、ページ内のハイパーリンクをたどって表示するか、odeadvisor コマンドそのものを実行すると表示できます。線形 ODE の決定アルゴリズムについては、dsolve,linear を参照してください。Lie の対称法の dsolve における実装については、dsolve,Lie で説明しています。求解法およびその計算の実例に関する詳細および参考資料は dsolve, algorithms および  dsolve, references を参照してください。

ODE で使用するその他のツールは、DEtools パッケージから使用できます。このパッケージには、ODE のプロット用ルーチン、線形 ODE と線形代数演算子の操作用のルーチン、対称法の大部分の手順を実行するためのルーチンなどが含まれています。これらの詳細についてはいずれも DEtools に説明が記載されています。変数の変更については dchange を参照してください。