Hankel Transform (inttrans package)

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Introduction

The hankel transform, sometimes referred to as the Bessel transform, has uses in particular types of differential equations.

The definition of the transform:

int(f(t)*(t*s)^(1/2)*BesselJ(v, t*s), t = 0 .. infinity)

(1.1)

Algebraic, Exponential, Logarithmic, Trigonometric, Inverse Trigonometric, Hyperbolic, and Inverse Hyperbolic Functions

hankel(sqrt(t)/(alpha+t), t, s, 0)

(1/2)*s^(1/2)*Pi*BesselI(0, alpha*s)/alpha

(2.1)

hankel(sqrt(t)/(alpha+t), t, s, v)

(1/2)*s^(1/2)*Pi*(BesselI(v, alpha*s)*sin(Pi*v)+cos((1/2)*Pi*v)*AngerJ(v, I*alpha*s)-cos((1/2)*Pi*v)*AngerJ(-v, I*alpha*s))/(alpha*cos((1/2)*Pi*v)*sin(Pi*v))

(2.2)

Exponential, Sine, and Cosine Integral

-2*(-1+cos((1/4)*s^2/alpha))/s^(3/2)

(3.1)

-2*sin((1/4)*s^2/alpha)/s^(3/2)

(3.2)

2*(-1+exp((1/4)*s^2/beta))/s^(3/2)

(3.3)

Error Integrals

hankel(erf(alpha*t)/sqrt(t), t, s, 0)

erfc((1/2)*s/alpha)/s^(1/2)

(4.1)

Hankel's Functions 1 and 2

hankel(HankelH1(mu, alpha/t)*HankelH2(mu, alpha/t)/sqrt(t), t, s, 0)

16*cos(Pi*mu)*BesselK(2*mu, (1+I)*alpha^(1/2)*s^(1/2)*2^(1/2))*BesselK(2*mu, (1-I)*alpha^(1/2)*s^(1/2)*2^(1/2))/(Pi^2*s^(1/2))

(5.1)

Bessel and Modified Bessel Functions

hankel(sqrt(t)*BesselJ(0, beta*t)/(alpha+t^2), t, s, 0)

Heaviside(beta-s)*s^(1/2)*BesselK(0, beta*alpha^(1/2))*BesselI(0, alpha^(1/2)*s)+Heaviside(s-beta)*s^(1/2)*BesselI(0, beta*alpha^(1/2))*BesselK(0, alpha^(1/2)*s)

(6.1)

hankel(sqrt(t)*BesselJ(v, beta*t)/(alpha+t^2), t, s, v)

Heaviside(beta-s)*s^(1/2)*BesselK(v, beta*alpha^(1/2))*BesselI(v, alpha^(1/2)*s)+Heaviside(s-beta)*s^(1/2)*BesselI(v, beta*alpha^(1/2))*BesselK(v, alpha^(1/2)*s)