LUDecomposition 関数は行列 A の PLU 分解、修正 PLU1R 分解、または  を計算します。

output オプション (out) に何が含まれているかによって、因子、 P, L, U, U1, R, コンパクト NAG 形式、 determinant 、rank のいくつかが含まれる式列が返されます。オブジェクトは output リストに指定されたのと同じ順序で返されます。

注意: U か U1 と R の組が返されるかもしれませんが、両方が一緒には返されることはありません。

 LUDecomposition(A) の呼び出し手順は LUDecomposition(A, output=['P','L','U']) と同値です。この LU 分解は A = P . L . U を満たす A と同じ次元を持つ正方単位下三角行列 L 因子と上三角因子 U を生成します。行列 P は置換行列です。

 PLU1R 分解は LUDecomposition(A, method='RREF') または LUDecomposition(A, output=['P','L','U1','R']) を用いてなされます。 これはさらに U を U1 . R に分解します。ここで U1 は正方上三角因子で R は行列 A の一意的な被約行階段形です。この場合、 A = P . L . U1 . R です。

正定値行列 A のコレスキー分解は LUDecomposition(A, method=Cholesky) を使って得られます。これは正方下三角因子 L を生成します。 A が実対称行列ならば、A = L . Transpose(L)、A が複素エルミート行列ならば、A = L . HermitianTranspose(L) です。

 m が呼出し手順で指定されないと、method='none' が使用されます。注意: method='none' は method='GaussianElimination' と同等です。

 コレスキー分解において、エルミート転置がデフォルトで使用されます。 conjugate=false が呼び出し手順に指定されると、普通の転置が使用されます。

 output オプション (out) は返される式列の内容を決定します。

 output='NAG' と method='Cholesky' が呼び出し手順で指定されると、出力はその下三角部分に下三角分解のデータを含む行列から成ります。対角線の上側の成分はゼロに設定されないかもしれません。

 output='NAG' が指定され、コレスキー分解法が使用されない場合、ベクトルの後に行列が続く式列が出力されます。行列の上三角部分は U 因子で狭義下三角部分を L 因子です (対角にそって 1 があるものとして)。ベクトルは NAG -スタイルのピボットベクトルです。

 NAG が output リストに含まれていると、output の成分は determinant と rank を除いてすべて除外されます。

inplace オプション (ip) は結果をどこに返されるかを決定します。inplace=true が指定され、U か NAG が output リストに含まれていると、結果は最初の引数を上書きします。inplace=false が指定されるかこのオプションが呼び出し手順に含まれないと、結果は新しい行列に返されます。

条件 inplace=true は inplace と略記することができます。

 inplace オプションは用心して使用しなければなりません。なぜならその演算が失敗したならば、本来の行列引数が壊れてしまうかもしれないからです。

 outputoptions[o] オプション (outopts) は付加情報 (readonly, shape, storage, order, datatype, attributes) をその結果を構成する Matrix (または Vector) に提供します。

 outputoptions のインデックス [o] に対して許される値と対応する意味を示します。

 inplace と outputoptions は同時に使うことができません。

 P*L*U1*R 分解の詳細は次を参照して下さい: Corless, Robert M, and Jeffrey, David J, "The Turing Factorization of a Rectangular Matrix," Sigsam Bulletin 31, no. 3 (September 1997): 20-28. この論文は U1 因子を U と呼んでいます。

この関数は LinearAlgebra パッケージの一部ですから、コマンド with(LinearAlgebra) を実行した後でのみ LUDecomposition(..) の形で使うことができます。ただし、コマンドの長い形 LinearAlgebra[LUDecomposition](..) を使えばいつでもアクセスすることが出来ます。

with(LinearAlgebra):
A := <<0,-2,0,3>|<1,3,0,1>|<1,1,0,0>|<-3,4,1,0>>;

(p, l, u) := LUDecomposition(A);

p . l . u;

B := <<1,0,2>|<3,1,4>|<6,1,4>|<1,1,2>>:
LUDecomposition( B, method='RREF', outputoptions['U1']=[datatype=integer] );

C := Matrix([[2,3+I,4+2*I,5+3*I],[13,17+3*I,21+6*I],[41,50+6*I],[62]],
     scan=triangular[upper],shape=hermitian,datatype=complex(sfloat)):
G := LUDecomposition(C, method='Cholesky');

LUDecomposition(A, output='U');

LUDecomposition( B, output='R' );