KroneckerDelta - Maple Help
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Tensor[KroneckerDelta] - find the Kronecker delta tensor of rank r

Calling Sequences

     KroneckerDelta(spatialType, r, fr)

Parameters

   spatialType  - a string, either "bas" or "vrt"

   r            - a non-negative integer

   fr           - (optional) the name of a defined frame

 

Description

Examples

Description

• 

The Kronecker delta tensor K of rank r is the type rr tensor which is defined as follows. Let I be the type 11 tensor whose components in any coordinate system are given by the identity matrix, that is, for any vector field IX=X. Then K is obtained from the r-fold tensor product of I fully skew-symmetrizing over all the covariant indices.

• 

The command KroneckerDelta(spatialType, r) returns the rank r Kronecker delta tensor K of the type specified by indexType in the current frame unless the frame is explicitly specified.

• 

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form KroneckerDelta(...) only after executing the command with(DifferentialGeometry) and with(Tensor) in that order. It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-KroneckerDelta.

Examples

> 

with⁡DifferentialGeometry:with⁡Tensor:

 

Example 1.

We create a 3 dimensional manifold M with coordinates x,y,z.

> 

DGsetup⁡x,y,z,M:

 

Define the 3 different Kronecker delta tensors on M.

M > 

K1 ≔ KroneckerDelta⁡bas,1

K1:=_DG⁡tensor,M,con_bas,cov_bas,,1,1,1,2,2,1,3,3,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,cov_bas,,1,1,1,2,2,1,3,3,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,cov_bas,,1,1,1,2,2,1,3,3,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,cov_bas,,1,1,1,2,2,1,3,3,1

(2.1)
M > 

K2 ≔ KroneckerDelta⁡bas,2

K2:=_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,−1,1,3,1,3,1,1,3,3,1,−1,2,1,1,2,−1,2,1,2,1,1,2,3,2,3,1,2,3,3,2,−1,3,1,1,3,−1,3,1,3,1,1,3,2,2,3,−1,3,2,3,2,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,−1,1,3,1,3,1,1,3,3,1,−1,2,1,1,2,−1,2,1,2,1,1,2,3,2,3,1,2,3,3,2,−1,3,1,1,3,−1,3,1,3,1,1,3,2,2,3,−1,3,2,3,2,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,−1,1,3,1,3,1,1,3,3,1,−1,2,1,1,2,−1,2,1,2,1,1,2,3,2,3,1,2,3,3,2,−1,3,1,1,3,−1,3,1,3,1,1,3,2,2,3,−1,3,2,3,2,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,−1,1,3,1,3,1,1,3,3,1,−1,2,1,1,2,−1,2,1,2,1,1,2,3,2,3,1,2,3,3,2,−1,3,1,1,3,−1,3,1,3,1,1,3,2,2,3,−1,3,2,3,2,1

(2.2)
M > 

K3 ≔ KroneckerDelta⁡bas,3

K3:=_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,2,−1,1,2,3,2,1,3,−1,1,2,3,2,3,1,1,1,2,3,3,1,2,1,1,2,3,3,2,1,−1,1,3,2,1,2,3,−1,1,3,2,1,3,2,1,1,3,2,2,1,3,1,1,3,2,2,3,1,−1,1,3,2,3,1,2,−1,1,3,2,3,2,1,1,2,1,3,1,2,3,−1,2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,1,3,1,2,1,3,2,3,1,−1,2,1,3,3,1,2,−1,2,1,3,3,2,1,1,2,3,1,1,2,3,1,2,3,1,1,3,2,−1,2,3,1,2,1,3,−1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,1,2,1,2,3,1,3,2,1,−1,3,1,2,1,2,3,1,3,1,2,1,3,2,−1,3,1,2,2,1,3,−1,3,1,2,2,3,1,1,3,1,2,3,1,2,1,3,1,2,3,2,1,−1,3,2,1,1,2,3,−1,3,2,1,1,3,2,1,3,2,1,2,1,3,1,3,2,1,2,3,1,−1,3,2,1,3,1,2,−1,3,2,1,3,2,1,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,2,−1,1,2,3,2,1,3,−1,1,2,3,2,3,1,1,1,2,3,3,1,2,1,1,2,3,3,2,1,−1,1,3,2,1,2,3,−1,1,3,2,1,3,2,1,1,3,2,2,1,3,1,1,3,2,2,3,1,−1,1,3,2,3,1,2,−1,1,3,2,3,2,1,1,2,1,3,1,2,3,−1,2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,1,3,1,2,1,3,2,3,1,−1,2,1,3,3,1,2,−1,2,1,3,3,2,1,1,2,3,1,1,2,3,1,2,3,1,1,3,2,−1,2,3,1,2,1,3,−1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,1,2,1,2,3,1,3,2,1,−1,3,1,2,1,2,3,1,3,1,2,1,3,2,−1,3,1,2,2,1,3,−1,3,1,2,2,3,1,1,3,1,2,3,1,2,1,3,1,2,3,2,1,−1,3,2,1,1,2,3,−1,3,2,1,1,3,2,1,3,2,1,2,1,3,1,3,2,1,2,3,1,−1,3,2,1,3,1,2,−1,3,2,1,3,2,1,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,2,−1,1,2,3,2,1,3,−1,1,2,3,2,3,1,1,1,2,3,3,1,2,1,1,2,3,3,2,1,−1,1,3,2,1,2,3,−1,1,3,2,1,3,2,1,1,3,2,2,1,3,1,1,3,2,2,3,1,−1,1,3,2,3,1,2,−1,1,3,2,3,2,1,1,2,1,3,1,2,3,−1,2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,1,3,1,2,1,3,2,3,1,−1,2,1,3,3,1,2,−1,2,1,3,3,2,1,1,2,3,1,1,2,3,1,2,3,1,1,3,2,−1,2,3,1,2,1,3,−1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,1,2,1,2,3,1,3,2,1,−1,3,1,2,1,2,3,1,3,1,2,1,3,2,−1,3,1,2,2,1,3,−1,3,1,2,2,3,1,1,3,1,2,3,1,2,1,3,1,2,3,2,1,−1,3,2,1,1,2,3,−1,3,2,1,1,3,2,1,3,2,1,2,1,3,1,3,2,1,2,3,1,−1,3,2,1,3,1,2,−1,3,2,1,3,2,1,1,_DG⁡tensor,M,con_bas,con_bas,con_bas,cov_bas,cov_bas,cov_bas,,1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,2,−1,1,2,3,2,1,3,−1,1,2,3,2,3,1,1,1,2,3,3,1,2,1,1,2,3,3,2,1,−1,1,3,2,1,2,3,−1,1,3,2,1,3,2,1,1,3,2,2,1,3,1,1,3,2,2,3,1,−1,1,3,2,3,1,2,−1,1,3,2,3,2,1,1,2,1,3,1,2,3,−1,2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,1,3,1,2,1,3,2,3,1,−1,2,1,3,3,1,2,−1,2,1,3,3,2,1,1,2,3,1,1,2,3,1,2,3,1,1,3,2,−1,2,3,1,2,1,3,−1,2,3,1,2,3,1,1,2,3,1,3,1,2,1,2,3,1,3,2,1,−1,3,1,2,1,2,3,1,3,1,2,1,3,2,−1,3,1,2,2,1,3,−1,3,1,2,2,3,1,1,3,1,2,3