Let g be a Lie algebra and V a vector space.  A representation of g on V is a linear transformation rho: g -> gl(V) (where gl(V) is the Lie algebra of all linear transformations on V) such that rho([x, y]) = [rho(x), rho(y)] (*) for all x, y in g.  Here [x, y] denotes the Lie bracket of two vectors in g while [rho(x), rho(y)] denotes the commutator of two linear transformations in gl(V).

The command Representation(A, V, M) creates a data structure which defines the representation rho : g -> gl(V) such that rho(e_i) = M_i.

The command Query can be used to verify that the map rho does in fact satisfy the representation property (*).

If  $x\=c_1{e}_1\+c_2{e}_2\+\cdot \cdot \cdot$ then ApplyRepresentation($\mathbf{\rho }$, x) returns the matrix $\mathrm{\ρ}\left(x\right)$$\=c_1{e}_1\+c_2{e}_2\+\cdot \cdot \cdot$. If  $y$ is vector in the representation space $V$, then Representation($\mathbf{\rho }$$\,$x$\,$y) returns the vector $\mathrm{\ρ}\left(x\right)\left(y\right)\in V$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Library}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{GroupActions}\right)\:$

$L≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[4\,7\right]\,\mathrm{Alg1}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\+\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$\mathrm{Center}\left(\right)$

$M≔\mathrm{Adjoint}\left(\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)\:$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg1}\,V\,M\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\rho }\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{A1}≔\mathrm{ApplyRepresentation}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{e1}\right)$

$\mathrm{A2}≔\mathrm{ApplyRepresentation}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{e1}+2\mathrm{e2}+3\mathrm{e4}\right)$

$\mathrm{ApplyRepresentation}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{e1}\,\mathrm{D\_x4}\right)$

$2\mathrm{D\_x1}$

$\mathrm{ApplyRepresentation}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{e1}+2\mathrm{e2}+3\mathrm{e4}\,\mathrm{D\_x3}\right)$

$2\mathrm{D\_x1}-3\mathrm{D\_x2}-3\mathrm{D\_x3}$

$L≔\mathrm{Retrieve}\left(''Winternitz''\,1\,\left[3\,2\right]\,\mathrm{Alg2}\right)$

$L:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)\:$

$M≔\mathrm{Derivations}\left(''Full''\right)$

$A≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(M\,\mathrm{Alg2a}\right)$

$A:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(A\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg2a}$

$\mathrm{\ρ2}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg2a}\,\mathrm{Alg2}\,M\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\ρ2}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\right]\,''M''\right)\:$

$\mathrm{Gamma}≔\mathrm{Retrieve}\left(''Gonzalez-Lopez''\,1\,\left[7\right]\,\mathrm{manifold}=''M''\right)$

$\mathrm{\Γ}:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,x\mathrm{D\_x}\+y\mathrm{D\_y}\,y\mathrm{D\_x}-x\mathrm{D\_y}\,\left(x^2-y^2\right)\mathrm{D\_x}\+2xy\mathrm{D\_y}\,2xy\mathrm{D\_x}\+\left(y^2-x^2\right)\mathrm{D\_y}\right]$

$\mathrm{IsoAlg},\mathrm{IsoRep}≔\mathrm{IsotropySubalgebra}\left(\mathrm{Gamma}\,\left[x=1\,y=2\right]\,\mathrm{output}=\left[''Vector''\,''Representation''\right]\right)$

$\mathrm{L3}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\mathrm{IsoAlg}\,\mathrm{Alg3}\right)$

$\mathrm{L3}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}-\frac{2}{5}\mathrm{e3}-\frac{4}{5}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\+\frac{4}{5}\mathrm{e3}-\frac{2}{5}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e2}-\frac{4}{5}\mathrm{e3}\+\frac{2}{5}\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}-\frac{2}{5}\mathrm{e3}-\frac{4}{5}\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L3}\right)\:$

$\mathrm{\ρ3}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg3}\,''M''\,\mathrm{IsoRep}\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\ρ3}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{L4}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(\left[\left[\mathrm{x2}\,\mathrm{x4}\right]=\mathrm{x1}\,\left[\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]=\mathrm{x3}\right]\,\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,\mathrm{Alg4}\right)$

$\mathrm{L4}:=\left[\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L4}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg4}$

$\mathrm{M4}≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,-1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,-1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[-1\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,0\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)\:$

$\mathrm{\ρ4}≔\mathrm{Representation}\left(\mathrm{Alg4}\,V\,\mathrm{M4}\right)$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{\ρ4}\,''Representation''\right)$

$\mathrm{true}$