Let $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$be a Lie algebra. A Cartan subalgebra h is a nilpotent subalgebra whose normalizer in g is itself, that is, $nor\left(\mathrm{\𝔥}\right) \= \mathrm{\𝔥}$ .

If the Lie algebra $\mathrm{\𝔤}\mathit{ }$ is semi-simple and the rank of the Lie algebra is $m\,$then any Cartan subalgebra is of dimension $m$and is Abelian. This simplifies checking if a given subspace of vectors is a Cartan subalgebra ( the nilpotent character of h need not be verified).

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$A≔\mathrm{map}\left(\mathrm{convert}\,\left[\left[\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,-1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,-1\right]\right]\,\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\right]\right]\,\mathrm{Matrix}\right)$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(A\,\mathrm{sl3}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{sl3}\,''Semisimple''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$A:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{Query}\left(A\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{e1}+\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e6}\right]\right)$

$A:=\left[\mathrm{e1}\+\mathrm{e6}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e6}\right]$

$\mathrm{Query}\left(A\,\mathrm{rank}=2\,\mathrm{algebratype}=''Semisimple''\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]$

$A:=\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{Query}\left(A\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{SubalgebraNormalizer}\left(A\right)$

$\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e6}\,\mathrm{e4}\,\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{alg}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,4\,1\right]\,a\right]\,\left[\left[2\,4\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,5\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=a\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg}$

$\mathrm{Query}\left(''Solvable''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$A:=\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{Query}\left(A\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$A:=\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{Query}\left(A\,''Ideal''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(A\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{false}$