Let Δ be the root system for a non-compact, simple Lie algebra. Let ${\mathrm{\Δ}}^{\+}$be a set of positive roots, ${\mathrm{\Δ}}_c$the compact roots, ${\mathrm{\Δ}}_0$be the simple roots and ${\mathrm{\Delta }}_{0 c}$the compact simple roots. We chose the positive roots to be closed under complex conjugation. Then for each root ${\mathrm{\α}}_{}\in {\mathrm{\Δ}}_0 \/{\mathrm{\Δ}}_{0 c}\,$there is a unique root $\mathrm{\α}\' \in {\mathrm{\Delta }}_0 \/{\mathrm{\Delta }}_{0 c}$such that $\bar{\mathrm{\alpha }}-\mathrm{\α}\'\in \mathrm{span}\left({\mathrm{\Delta }}_0\right)\.$The root $\mathrm{\α}\'$is called the Satake associate of ${\mathrm{\α}}_{}$.

The command SatakeAssociate($\mathbf{\α}\, \mathit{\Δ0}\, \mathit{\Δc}$ ) returns the Satake associate of $\mathrm{\α}$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{SatakeDiagram}\left(''su(4,\; 4''\right)$

$\mathrm{\α1},\mathrm{\α2},\mathrm{\α3},\mathrm{\α4},\mathrm{\α5},\mathrm{\α6},\mathrm{\α7}≔\mathrm{seq}\left(\mathrm{Vector}\left(v\right)\,v=\left[\left[-2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,0\,1\,-1\,0\,0\right]\,\left[\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,0\,1\,-1\,0\right]\,\left[0\,\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\,0\,0\,1\,-1\right]\,\left[0\,0\,0\,0\,0\,0\,2\right]\,\left[0\,-\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\,0\,0\,1\,-1\right]\,\left[-\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,0\,1\,-1\,0\right]\,\left[2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,0\,1\,-1\,0\,0\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Δ0}≔\left[\mathrm{\α1}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α4}\,\mathrm{\α5}\,\mathrm{\α6}\,\mathrm{\α7}\right]\:$

$\mathrm{\α1},\mathrm{SatakeAssociate}\left(\mathrm{\α1}\,\mathrm{\Δ0}\right),\mathrm{\α7}$

$\mathrm{SatakeAssociate}\left(\mathrm{\α4}\,\mathrm{\Δ0}\right),\mathrm{\α4}$

$\mathrm{SatakeDiagram}\left(''so(7,2)''\right)$

$\mathrm{\α1},\mathrm{\α2},\mathrm{\α3},\mathrm{\α4}≔\mathrm{seq}\left(\mathrm{Vector}\left(v\right)\,v=\left[\left[1\,-1\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,-\mathrm{I}\,0\right]\,\left[0\,0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\,\left[0\,0\,0\,\mathrm{I}\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Δ0}≔\left[\mathrm{\α1}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α4}\right]\:$

$\mathrm{map}\left(\mathrm{conjugate}\,\mathrm{\α2}\right)-\mathrm{\α2},2\mathrm{\α3}+2\mathrm{\α4}$

$\mathrm{SatakeDiagram}\left(''so(5,\; 3)''\right)$

$\mathrm{\α1},\mathrm{\α2},\mathrm{\α3},\mathrm{\α4}≔\mathrm{seq}\left(\mathrm{Vector}\left(v\right)\,v=\left[\left[1\,-1\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,-1\,0\right]\,\left[0\,0\,1\,-\mathrm{I}\right]\,\left[0\,0\,1\,\mathrm{I}\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Δ0}≔\left[\mathrm{\α1}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α4}\right]\:$

$\mathrm{\α3},\mathrm{SatakeAssociate}\left(\mathrm{\α3}\,\mathrm{\Δ0}\right),\mathrm{\α4}$

$\mathrm{SatakeDiagram}\left(''so*(10)''\right)$

$\mathrm{\α1},\mathrm{\α2},\mathrm{\α3},\mathrm{\α4},\mathrm{\α5}≔\mathrm{seq}\left(\mathrm{Vector}\left(v\right)\,v=\left[\left[0\,0\,2\mathrm{I}\,0\,0\right]\,\left[1\,-1\,-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,0\right]\,\left[0\,0\,0\,2\mathrm{I}\,0\right]\,\left[0\,1\,0\,-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\,\left[0\,1\,0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\right]\right)$

$\mathrm{map}\left(\mathrm{conjugate}\,\mathrm{\α2}\right)-\mathrm{\α2}=\mathrm{\α1}+\mathrm{\α3}$

$\mathrm{map}\left(\mathrm{conjugate}\,\mathrm{\α4}\right)-\mathrm{\α5}=\mathrm{\α3}$

$\mathrm{\α2},\mathrm{SatakeAssociate}\left(\mathrm{\α2}\,\left[\mathrm{\α1}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α4}\,\mathrm{\α5}\right]\right)$

$\mathrm{\α4},\mathrm{SatakeAssociate}\left(\mathrm{\α4}\,\left[\mathrm{\α1}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α4}\,\mathrm{\α5}\right]\right),\mathrm{\α5}$