Let  $g \= g_{\mathrm{ij}} {\mathrm{dx}}^{i }{\mathrm{dx}}^j$ and let $h \= h^{\mathrm{ij}}\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}$ be the inverse metric. If $\mathrm{\α}$$\= a_i {\mathrm{dx}}^i$ and $\mathrm{\β}\= b_j {\mathrm{dx}}^j$are 1-forms, then their inner product is $⟨\mathrm{\α}\, \mathrm{\β}⟩ \= h^{\mathrm{ij}}{a}_i b_j\.$ For monomial $p$-forms  ${\mathrm{\α}}_1\wedge {\mathrm{\α}}_2 \wedge ..\. \wedge {\mathrm{\α}}_p$and ${\mathrm{\β}}_1\wedge {\mathrm{\β}}_2 \wedge ..\. \wedge {\mathrm{\β}}_p \,$the inner product is given by

In the special case of forms defined on a Lie algebra with coefficients $x$ and $y$in a representation, the inner product formula for monomials becomes

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)\:$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}\+b\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}\+c\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,a\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,b\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,c\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,a\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,b\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,c\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\α1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{dx}\+\mathrm{a2}\mathrm{dy}\+\mathrm{a3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α1}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,\mathrm{a1}\right]\,\left[\left[2\right]\,\mathrm{a2}\right]\,\left[\left[3\right]\,\mathrm{a3}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,\mathrm{a1}\right]\,\left[\left[2\right]\,\mathrm{a2}\right]\,\left[\left[3\right]\,\mathrm{a3}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\β1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{b1}\mathrm{dx}\+\mathrm{b2}\mathrm{dy}\+\mathrm{b3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β1}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,\mathrm{b1}\right]\,\left[\left[2\right]\,\mathrm{b2}\right]\,\left[\left[3\right]\,\mathrm{b3}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,1\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,\mathrm{b1}\right]\,\left[\left[2\right]\,\mathrm{b2}\right]\,\left[\left[3\right]\,\mathrm{b3}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{\α1}\,\mathrm{\β1}\right)$

$\frac{\mathrm{a1}\mathrm{b1}}{a}\+\frac{\mathrm{a2}\mathrm{b2}}{b}\+\frac{\mathrm{a3}\mathrm{b3}}{c}$

$\mathrm{g2}≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}\+b\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}\+c\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{g2}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,a\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,b\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,c\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,a\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,b\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,c\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\Ω}≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right]\right)$

$\mathrm{\Ω}:=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[2\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(\mathrm{g2}\,\mathrm{\Ω}\,\mathrm{\Ω}\right)$

$\mathrm{\α2}≔\mathrm{evalDG}\left(2\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}\+\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α2}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[2\,3\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\β2}≔\mathrm{evalDG}\left(3\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}\+4\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β2}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,3\right]\,3\right]\,\left[\left[2\,3\right]\,4\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,M\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,3\right]\,3\right]\,\left[\left[2\,3\right]\,4\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(\mathrm{g2}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α2}\right)$

$\frac{4}{ab}\+\frac{1}{bc}$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(4)''\,\mathrm{so4}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so4}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$\mathrm{\ρ}≔\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{so4}\,\mathrm{representationspace}\=V\right)$

$\mathrm{\ρ}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''Representation''\,\left[\left[\mathrm{so4}\,0\right]\,\left[V\,0\right]\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\begin{array}{cccc}0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''Representation''\,\left[\left[\mathrm{so4}\,0\right]\,\left[V\,0\right]\right]\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\begin{array}{cccc}0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{\ρ}\,\mathrm{so4V}\,\left[\mathrm{O}\right]\,\left[o\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; so4V}$

$g≔\mathrm{KillingForm}\left(\mathrm{so4V}\right)$

$g:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{so4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,\mathrm{-4}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{so4V}\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,\mathrm{-4}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,\mathrm{-4}\right]\right]\right]\right)$

$h≔\mathrm{InverseMetric}\left(g\right)$

$h:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{so4V}\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,-\frac{1}{4}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,\mathrm{so4V}\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[5\,5\right]\,-\frac{1}{4}\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,-\frac{1}{4}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{gV}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx1}\&t\mathrm{dx1}\+\mathrm{dx2}\&t\mathrm{dx2}\+\mathrm{dx3}\&t\mathrm{dx3}\+\mathrm{dx4}\&t\mathrm{dx4}\right)$

$\mathrm{gV}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,V\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,V\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,a\mathrm{x1}\+b\mathrm{x2}\,c\mathrm{x1}\+d\mathrm{x2}\right)$

$ac\+bd$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x1}\mathrm{o1}\,\mathrm{x1}\mathrm{o3}\right)$

$0$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\,\mathrm{x1}\mathrm{o1}\right)$

$0$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o2}\,\mathrm{x2}\mathrm{o2}\right)$

$-\frac{1}{4}$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\right)$

$\frac{1}{16}$

$\mathrm{\α3}≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\+b\mathrm{x4}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o3}\+cx\mathrm{o2}\&w\mathrm{o5}\right)$

$\mathrm{\α3}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{so4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,a\mathrm{x2}\right]\,\left[\left[1\,3\right]\,b\mathrm{x4}\right]\,\left[\left[2\,5\right]\,cx\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''form''\,\mathrm{so4V}\,2\right]\,\left[\left[\left[1\,2\right]\,a\mathrm{x2}\right]\,\left[\left[1\,3\right]\,b\mathrm{x4}\right]\,\left[\left[2\,5\right]\,cx\right]\right]\right]\right)$

$\sqrt{\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α3}\right)}$

$\frac{1}{4}\sqrt{a^2\+b^2}$