Let$A \= \left[A_1\, A_2\, ..\.\, A_N\right]$be a list of square matrices with entries which are real numbers $\mathrm{\ℝ}$, complex numbers $\mathrm{\ℂ}$ or vectors in an algebra $\mathrm{\𝔸}\mathit{ }$. In most applications, the algebra $\mathrm{\𝔸}\mathit{ }$is one that can be created by the AlgebraLibraryData command such as the quaternions, octonions, or a Clifford algebra. The matrices $A$must be linearly independent over $\mathrm{\ℝ}$. The multiplication procedure must return a matrix $\mathrm{\μ}\left(A_i\,A_j\right)$which is a real linear combination of the matrices in $A\, \mathrm{\μ} \left(A_i\,A_j\right) \= C_{\mathrm{ij}}^k A_{k\.}$. The algebra defined in this manner need not be commutative, skew-commutative or associative.

The command AlgebraData returns the algebra data structure specified by the structure constants $C_{\mathrm{ij}}^k$which can be subsequently initialized with DGsetup.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[1\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[0\,1\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\μ1}≔\left(a\,b\right)\mapsto a·b$

$\mathrm{\μ1}:=\left(a\,b\right)\→a\.b$

$\mathrm{AD1}≔\mathrm{AlgebraData}\left(A\,\mathrm{\μ1}\,\mathrm{alg1}\right)$

$\mathrm{AD1}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,{\mathrm{e4}}^2\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD1}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; alg1}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{alg1}\,''Commutative''\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{alg1}\,''Associative''\right)$

$\mathrm{true}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[1\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[0\,1\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\μ3}≔\mathrm{JordanProduct}$

$\mathrm{\μ3}:=\mathrm{DifferentialGeometry:-LieAlgebras:-JordanProduct}$

$\mathrm{AD2}≔\mathrm{AlgebraData}\left(A\,\mathrm{\μ3}\,\mathrm{alg2}\right)$

$\mathrm{AD2}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\frac{1}{2}\mathrm{e1}\+\frac{1}{2}\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=\frac{1}{2}\mathrm{e1}\+\frac{1}{2}\mathrm{e4}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\frac{1}{2}\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=\frac{1}{2}\mathrm{e3}\,{\mathrm{e4}}^2\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD2}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; alg2}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{alg2}\,''Commutative''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{alg2}\,''Associative''\right)$

$\mathrm{false}$

$A≔\left[\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[1\,0\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\right]\,\left[0\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[1\,0\right]\right]\right)\,\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,0\right]\,\left[0\,1\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\μ3}≔\left(a\,b\right)\mapsto a·b-b·a$

$\mathrm{\μ3}:=\left(a\,b\right)\→a\.b-b\.a$

$\mathrm{AD3}≔\mathrm{AlgebraData}\left(A\,\mathrm{\μ3}\,\mathrm{alg3}\right)$

$\mathrm{AD3}:=\left[\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e1}-\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e1}\+\mathrm{e4}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(A\,\mathrm{Liealg3}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{AD4a}≔\mathrm{AlgebraLibraryData}\left(''Quaternions''\,\mathrm{Qn}\right)$

$\mathrm{AD4a}:=\left[{\mathrm{e1}}^2\=\mathrm{e1}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e1}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e2}\,{\mathrm{e2}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e3}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e2}\.\mathrm{e4}\=-\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e2}\=-\mathrm{e4}\,{\mathrm{e3}}^2\=-\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\.\mathrm{e4}\=\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e1}\=\mathrm{e4}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e2}\=\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\.\mathrm{e3}\=-\mathrm{e2}\,{\mathrm{e4}}^2\=-\mathrm{e1}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD4a}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; Qn}$

$J≔\mathrm{JordanMatrices}\left(3\,\mathrm{Qn}\right)$

$\mathrm{AD4}≔\mathrm{AlgebraData}\left(J\,\mathrm{JordanProduct}\,\mathrm{J3Qn}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{AD4}\right)$

$\mathrm{algebra\; name:\; J3Qn}$

$\mathrm{interface}\left(\mathrm{rtablesize}=17\right)$

$10$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''AlgebraTable''\right)$