Resolucion de la ecuaci?n de la el?stica para una viga simplemente apoyada con carga distribuida q(x), por el m?todo aproximado de las series de Fourier
Donde :
N = N?mero de t?rminos de la serie a desarrollar
E = M?dulo de elasticidad longitudinal
J = Momento de inercia respecto del eje sobre el que act?a el momento flector
l = Longitud de la viga
Las condiciones de borde para el caso de la viga simplemente apoyada son:
y(0) = y(l) = 0 el descenso en los apoyos es nulo
M(0) = -EJ y''(0) = M(l) = -EJ y''(l) = 0 el momento en los apoyos es nulo
Desarrollando en series de Fourier la funci?n y(x), la cual satisface automaticamente las condiciones de borde, tenemos:
Desarrollando tambi?n en series de Fourier la funci?n q(x), tenemos:
Donde hemos llamado qf(x,N) a la funcion q(x) expresada en series de Fourier
Teniendo en cuenta la ecuacion de la el?stica nos queda:
De la expesi?n anterior se observa que existe la siguiente igualdad:
De donde podemos obtener el valor de wn en funcion de qn:
La funci?n q(x) tiene la forma:
Determinamos el valor del coeficiente qn para el desarrollo en series de Fourier de la funci?n q(x):
Por lo que wn valdr?:
Donde debimos sustituir a qf(x,N) por ps(x,N) para poder intoducir en ?l, el valor determinado del coeficiente qn al que llamamos k
Entonces nuestro descenso y(x) ser?:
El momento flector ser?:
La carga distrbuda, denomina ahora ps(x) ser?:
Asignando valores particulares a los par?metros tendremos:
La gr?fica aproximada del momento flector ser?:
Dando valores particulares a "x" y a "N" se tiene:
El descenso en el punto "x" valdr?:
El valor del Momento Flector ser?:
El valor de la carga ser?:
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