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Blutdruckwerte aus Langzeitmessung

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                                                                                                                              17.03. / 18.03.2015

 

                                               Blutdruckwerte aus Langzeitmessung

 

                                                  Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef  BETTEN     

                                                            RWTH Aachen University

                               Mathematical Models in Materials Science and Continuum Mechanics

                                                                  Augustinerbach 4-20

                                                           D-52056  A a c h e n ,  Germany

 

                                                          <betten@mmw.rwth-aachen.de>

 

 

Blood Pressure Values.  During a period of  24 hours the blood pressure of a patient at the University Hospital Aachen has been measured. Thus, we have a lot of  Systole-, Diastole-, and Pulse-Values important for a medical doctor treating sick patients. To analyse these  "data"  the Maple Program 16 is very useful.

 

   Blutdruckwerte aus Langzeitmessungen unter alltäglichen Belastungen sind von grundlegende Bedeutung zur Behandlung von  Herzpatienten. Gemessen werden in einem Zeitraum von 24 h  Systole-, Diastole-Werte und Herzfrequenzen. Die entsprechenden Messdaten wurden von einer Arztpraxis in Aachen dem Autor zur Verfügung gestellt.

    Im Folgenden sind diese Daten aufgelistet und statistisch ausgewertet. Unterschieden wird zwischen Tag (von 9 - 23 Uhr) und Nachtruhe (von 23 - 6 Uhr). Zur grafischen  Darstellung werden kubische Splinefunktionen benutzt. Die Splineinterpolation bietet wesentliche Vorteile gegenüber einer LAGRANGE Interpolation, die bei einer Vielzahl von Messpunkten zu starken Schwingungen neigt und somit keine geeigneten Ergebnisse liefert.

 

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restart:

> 

with(stats): with(CurveFitting):

    Systole-Messwerte  DATA

> 

DATA:=[9,116],[10,140],[11,135],[12,115],[13,132],[14,105], [15,107],[16,105],[17,124],[18,128],[19,132],[20,113],[21,108], [22,116],[23,123],[24,111],[25,126],[26,123],[27,112], [28,128],[29,132],[30,132]:

 

     Diastole-Messwerte  data

 

> 

data:=[9,75],[10,85],[11,71],[12,78],[13,74],[14,69],[15,69],   [16,70],[17,70],[18,75],[19,82],[20,76],[21,72],[22,84], [23,75],[24,68],[25,67],[26,72],[27,62],[28,69],[29,81],                 [30,80]:

 

     Herzfrequenz  Hf

 

> 

Hf:=[9,68],[10,54],[11,62],[12,65],[13,68],[14,68],[15,59], [16,67],[17,61],[18,59],[19,57],[20,57],[21,57],[22,64],[23,47], [24,48],[25,51],[26,52],[27,50],[28,52],[29,44],[30,47]:

 

  Mittelwert über alle Systole-Werte (M) und Standartabweichung (S)

 

> 

DATAY:=[116,140,135,115,132,105,107,105,124,132,113,108, 116,123,111,126,123,112,128,132,132]:

> 

M:=evalf(describe[mean](DATAY),4)*mmHg;

M := 120.7*mmHg

(1)

 

> 

S:=evalf(describe[standarddeviation](DATAY),4)*mmHg;

S := 10.55*mmHg

(2)

 

   Mittelwert über alle Diastol-Werte (m) und Standardabweichung (s)

 

> 

datay:=[75,85,71,78,74,69,69,70,70,82,76,72,84,75,68,         67,72,62,69,81,80]:

> 

m:=evalf(describe[mean](datay),4)*mmHg;

m := 73.76*mmHg

(3)
> 

s:=evalf(describe[standarddeviation](datay),4)*mmHg;

s := 5.952*mmHg

(4)

 

     Mittelwert über alle Hf-Werte (hf) und Standardabweichung (hfs)

 

> 

Hfy:=[68,54,62,65,68,68,59,67,61,57,57,57,64,47,48,           51,52,50,52,44,47]:

> 

hf:=evalf(describe[mean](Hfy),4)/min;

hf := 57.05/min

(5)
> 

hfs:=evalf(describe[standarddeviation](Hfy),4)/min;

hfs := 7.605/min

(6)

 

    Zur Erzeugung von Splinefunktionen beliebigen Grades ist die MAPLE-Software unverzichtbar.

    Die folgenden kubischen Splinefunktionen für Systole [Sp(x)] und Diastole [sp(x)] sind aus                               

    Platzgründen nicht ausgedruckt. Man kann sie jedoch ausdrucken, wenn man die Doppelpunkte                             

    durch Semikola ersetzt.

 

> 

Sp(x):=Spline([DATA],x,degree=3):

> 

sp(x):=Spline([data],x,degree=3):

 

     Grafische Darstellung der Ergebnisse

 

> 

with(CurveFitting):

> 

alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color):

> 

p[1]:=plot({Sp(x),sp(x)},x=8..30,40..180,co=black,th=2):

> 

p[2]:=plot({[DATA],[data]},x=8..30,axes=boxed,      style=point,symbol=cross,symbolsize=50,co=black):

> 

p[3]:=plot({140,90},x=8..23,linestyle=4,th=2,co=black):

> 

p[4]:=plot({125,80},x=23..30,linestyle=4,th=2,co=black,            ytickmarks=4):

> 

p[5]:=plot(180*H(x-22.99)-100*H(x-23.001),x=8..30,                   linestyle=3, th=2,co=black,title="Systole und Diastole"):

> 

p[6]:=plots[textplot]({[17,170,`Tag`],[26,170,`Nacht`]}):

> 

plots[display]({seq(p[k],k=1..6)});

 

     Gestrichelt eingezeichnet sind die Systole-Werte von 140 mmHg (Tag), 125 mmHg (Nacht),

     und die Diastole-Werte von 90 mmHg (Tag), 80 mmHg (Nacht), die nicht überschritten

     werden sollten.

        Im nächsten Bild ist die Herzfrequenz dargestelt.

 

> 

SpHf(x):=Spline([Hf],x,degree=3):

> 

alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color):

> 

p[1]:=plot([Hf],x=8..30,co=black,                                              style=point,symbol=cross,symbolsize=50,axes=boxed):

> 

p[2]:=plot(hf*min,x=8..30,linestyle=4,th=2,co=black):

> 

p[3]:=plot(SpHf(x),x=8..30,40..90,               th=3,co=black,title="Herzfrequenz  Hf"):

> 

p[4]:=plot(90*H(x-22.98)-50*H(x-23.01),x=8..30,           linestyle=3,th=2,co=black):

> 

p[5]:=plots[textplot]({[18,80,`Tag`],[27,80,`Nacht`]}):

> 

plots[display]({seq(p[k],k=1..5)});

 

   Die Nachtruhe (23 - 6 Uhr) ist in obigen Bildern durch  x = 23 - 30  auf der Abszisse

gekennzeichnet. Die gestrichelte Linie im letzten Bild stellt den Mittelwert  hf = 57.38 [1/min] dar.

Obige Bilder zeigen, dass die Splineinterpolation glatte Kurven liefert. Aufgrund der Vielzahl

der vorliegenden Daten ist eine LAGRANGE Interpolation weniger geeignet.

Die Bezeichnung Spline bedeutet dünnes Brett. Ein leicht biegsames Lineal wird an die                                        Messpunkte gelegt. Somit kann eine glatte Kurve gezeichnet werden. Im MAPLE                                                    Application-Center unter dem Stichwort  LAGRANGE Interpolation  wird an einem Beispiel                                              mit fünf  Messpunkten gezeigt, dass sich die Spline Kurven mit wachsendem Grad immer stärker                                           an das schwingende LAGRANGE Polynom anschmiegen.

Im Grenzfall  degree ---> infinity sind das LAGRANGEsche Interpolations Polynom und die                                           Spline Kurve deckungsgleich.

 

 

  Approximation der Splinefunktionen durch FOURIER-Reihen

 

> 

restart:

> 

with(stats): with(CurveFitting):

 

Systole-Messwerte DATA mit  x = [0..2*Pi] im Gegensatz zu  X = [9..39] in oberen Bildern. Die lineare Abbildung der Abszisse [X] auf  [x] erfolgt gemäß   x := -6*Pi/7  + 2*Pi*X/21.

 

> 

DATA:=[0,116],[2*Pi/21,140],[4*Pi/21,135],[2*Pi/7,115],[8*Pi/21,132], [10*Pi/21,105],[4*Pi/7,107],[2*Pi/3,105],[16*Pi/21,124],[6*Pi/7,128], [20*Pi/21,132],[22*Pi/21,113],[8*Pi/7,108],[26*Pi/21,116],[4*Pi/3,123], [10*Pi/7,111],[32*Pi/21,126],[34*Pi/21,123],[12*Pi/7,112],[38*Pi/21,128], [40*Pi/21,132],[2*Pi,132]:

> 

Sp(x):=Spline([DATA],x,degree=3):

> 

alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color):

> 

p[1]:=plot(Sp(x),x=0..2*Pi,80..160,th=3,co=black):

> 

p[2]:=plot([DATA],x=0..2*Pi,axes=boxed,th=3,co=black,style=point,symbol=cross, symbolsize=50,title="Systole-Werte & Cubic Spline"):

> 

plots[display](seq(p[k],k=1..2));

> 

 

> 

FOURIER_series(x):=         a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*x)+b[k]*sin(k*x),k=1..infinity);

FOURIER_series(x) := (1/2)*a[0]+sum(a[k]*cos(k*x)+b[k]*sin(k*x), k = 1 .. infinity)

(7)
> 

a[k]:=(1/Pi)*Int(f(x)*cos(k*x),x=0..2*Pi);

a[k] := (1/Pi)*(Int(f(x)*cos(k*x), x = 0 .. 2*Pi))

(8)
> 

a[0]:=simplify(subs(k=0,%));

a[0] := (1/Pi)*(Int(f(x), x = 0 .. 2*Pi))

(9)
> 

b[k]:=(1/Pi)*Int(f(x)*sin(k*x),x=0..2*Pi);

b[k] := (1/Pi)*(Int(f(x)*sin(k*x), x = 0 .. 2*Pi))

(10)
> 

F(x):=Sp(x):

> 

A[0]:=value(subs(f(x)=F(x),a[0]));

A[0] := 3639533959/15036735

(11)
> 

A[0]:=evalf(%);

A[0] := 242.0428344

(12)
> 

A[k]:=simplify(value(subs(f(x)=F(x),a[k]))):

> 

A[k]:=subs({sin(k*Pi)=0,(cos(k*Pi))^2=1},%):

> 

A[k]:=evalf(%):

> 

for i in [seq(k,k=1..5)] do A[i]:=subs(k=i,A[k]) od:

> 

for i in [seq(k,k=1..15)] do P[i]:=subs(k=i,A[k]) od:

> 

for i in [seq(k,k=1..100)] do R[i]:=subs(k=i,A[k]) od:

> 

B[k]:=simplify(value(subs(f(x)=F(x),b[k]))):

> 

B[k]:=subs({sin(k*Pi)=0,(cos(k*Pi))^2=1},%):

> 

for i in [seq(k,k=1..5)] do B[i]:=subs(k=i,B[k]) od:

> 

for i in [seq(k,k=1..15)] do Q[i]:=subs(k=i,B[k]) od:

> 

for i in [seq(k,k=1..100)] do S[i]:=subs(k=i,B[k]) od:

> 

# Die Koeffizienten A[i]...S[i] sind aus Platzgründen nicht ausgedruckt.Man kann sie jedoch ausdrucken, wenn man jeweils an den entsprechenden Zeilenenden die Doppelpunkte durch Semikola ersetzt.

> 

Y(x):=A[0]/2+sum(A[k]*cos(k*x)+B[k]*sin(k*x),k=1..5);

Y(x) := 121.0214172+5.932903474*cos(x)-.6527600356*sin(x)+6.686564454*cos(2.*x)+.4037944346*sin(2.*x)-.7406301146*cos(3.*x)+6.358904279*sin(3.*x)+.2772992763*cos(4.*x)-4.143256787*sin(4.*x)+1.868783848*cos(5.*x)+1.845916662*sin(5.*x)

(13)
> 

Z(x):=A[0]/2+sum(P[k]*cos(k*x)+Q[k]*sin(k*x),k=1..15):

> 

T(x):=A[0]/2+sum(R[k]*cos(k*x)+S[k]*sin(k*x),k=1..100):

> 

# Auch diese Formeln wurden aus Platzgründen nicht ausgedruckt. Das folgende Bild zeigt die Näherung an die Splinefunktion durch FOURIER-Reihen(k=[5,7,10]).

> 

alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color):

> 

p[1]:=plot(Sp(x),x=0..2*Pi,80..160,axes=boxed,th=3,co=black):

> 

p[2]:=plot([DATA],x=0..2*Pi,th=3,co=black,style=point,symbol=cross, symbolsize=50,title="Cubic-Spline & FOURIER mit  k = [5, 15, 100]"):

> 

p[3]:=plot({Y(x),Z(x),T(x)},x=0..2*Pi,th=2,co=black):

> 

plots[display](seq(p[i],i=1..3));

 

Mit zunehmender Anzahl der FOURIER-Glieder (z.B. k = [5, 15, 100]) schmiegt sich die FOURIER-Reihe immer mehr an die Splinefunktion. Für k = 15 etwa sind kaum Unterschiede zur Splinefunktion zu erkennen. Für k---> infinity ist die FOURIER Reihe identisch mit der Splinefunktion.

  Obige Genauigkeit wird erzielt durch eine Vielzahl von Gliedern in der FOURIER-Reihe. Diese Anzahl kann jedoch reduziert werden durch Glättung (smoothing), ohne eine Genauigkeit der Approximation einzubüßen. Dazu wird ein smoothing factor  g(k,N) definiert, der in die FOURIER-Reihe eingebaut wird. Man erhält somit eine geglättete Reihe mit weniger Gliedern.

 

> 

g(k,N):=N*sin(Pi*k/N)/Pi/k;   # smoothing factor

g(k, N) := N*sin(Pi*k/N)/(Pi*k)

(14)
> 

G(x,n,N):=A[0]/2+sum(g(kappa,Nu)*(A[kappa]*cos(kappa*x)+ B[kappa]*sin(kappa*x)),kappa=1..n);  # smoothing function

G(x, n, N) := 121.0214172+sum(g(kappa, Nu)*(A[kappa]*cos(kappa*x)+B[kappa]*sin(kappa*x)), kappa = 1 .. n)

(15)
> 

# Als Beispiel werde die Reihe Z(x) mit n = 15 und N:=n+1 gewählt.

> 

g(k,16):=subs(N=16,g(k,N));

g(k, 16) := 16*sin(Pi*k/16)/(Pi*k)

(16)
> 

G(x,n=15,N=16):=evalf(subs({n=15,Nu=16,kappa=k,g(kappa,Nu)=g(k,16), A[kappa]=A[k],B[kappa]=B[k]},G(x,n,N))):

> 

alias(th=thickness,co=color):

> 

p[1]:=plot(Sp(x),x=0..2*Pi,axes=boxed,th=3,co=black):

> 

p[2]:=plot([DATA],x=0..2*Pi,80..160,th=3, style=point,symbol=cross,symbolsize=50,co=black):

> 

p[3]:=plot({Z(x),G(x,n=15,N=16)},x=0..2*Pi,th=1,co=black,     title="Approximation with n = 15 and its smoothing"):

> 

plots[display](seq(p[k],k=1..3));

 

   In diesem Worksheet wird eine kubische Splinefunktion zu Grunde gelegt und durch FOURIER-Reihen approximiert. Es wird gezeigt, dass mit zunehmender Anzahl der Glieder sich die FOURIER-Reihen immer mehr an die kubische Splinefunktion anschmiegen und im Grenzfall  (k --> infinity) mit der kubischen Splinefunktion identisch sind. In einem anderen Worksheet im Application Center  "Comparison between LAGRANGE and Spline Interpolation"  wird von der  

 LAGRANGE-Interpolation ausgegangen und gezeigt, dass mit zunehmendem Grad sich die Splinefunktion immer mehr an die betrachtete LAGRANGE-Funktion anschmiegt. Für  grad--> infinity  geht die Splinefunktion in LAGRANGE über.

 

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